transitiv, anti-symmetrisch oder symmetrisch Überprüfen!

Question

Aufgabe:

Wie überprüfe ich transitiv, anti-symmetrisch oder symmetrisch zutreffen auf

a) die folgende Relation \( \bowtie \) auf der Menge \( E=\mathcal{P}(\mathbb{R}) \)
\(A \bowtie B \Longleftrightarrow A \cap B \neq \emptyset \)

b) für jede Relation auf \( E=\{1,2\} \). Also: wie gebe ich alle Relationen auf \( E \) an und überprüfe jeweils welche Eigenschaften gelten.

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?!

Answer 1

a) Symmetrie folgt aus Kommutativität von \(\cap\).

Keine Antisymmetrie, weil z.B.: \((\{1,2\},\{2,3\}),(\{2,3\},\{1,2\})\in \ \bowtie\) aber \(\{1,2\}\neq \{2,3\}\).

Keine Transitivität, weil z.B. \((\{1,2\},\{2,3\}),(\{2,3\},\{3,4\})\in \ \bowtie\), aber \((\{1,2\},\{3,4\})\notin \ \bowtie\).

b) Es ist \(E\times E = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\}\), von dieser betrachtest du nun jede Teilmenge einzeln als Relation und übst die dir gegebenen Definitionen.