Kostenminimum, Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion \( F(K, L) \) mit den inputfaktoren \( K \) fur Kapital und \( L \) fur Arbeit auf
$$ F(K, L)=K+L^{0.5} $$
Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \( p_{K}=10 \) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \( p_{L}=0.1 . \) Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 380 ME produziert werden soll.
a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \( L \) im Kostenminimum?
b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \( K \) im Kostenminimum?
c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?
d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Problem/Ansatz:

Meine Lösungen bis jetzt sind:

K=380/L^0,5

λ=-10/L^0,5

0,1+760λ/L=0

stimmt das soweit?

Ich komme jetzt noch auf:

0,1-7600/L^?=0

Was muss ich jetzt einsetzen, oder bin ich komplett falsch? Danke für die Hilfe!

Answer 1

F(K,L,λ) = 10K+0,1L+λ*(K+L^(0,5)-380)

part. Ableitungen sind

F'_K =  10 + λ

F'_L = 0,1 + λ*0,5*L^(-0,5)

F'_λ =  K+L^(0,5)-380

Alle = 0 setzen gibt    λ = -10

              0,1 -5*L^(-0,5) = 0

                         L^(-0,5) = 0,02

                         L = 2500

K + 2500^(0,5) = 380

   K = 380 - 50 = 330

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

3550

Comments

Also

a. 2500

b. 330

c. -10

d. 3550

?

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So sehe ich es auch.

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1 von den 4 ist falsch

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Weiß irgendjemand was falsch ist?