Aloha :)
Partielle Ableitungen können immer dann vorkommen, wenn eine Funktion von mehr als einer Variable abhängt. Hier hängt die Funktion \(f\) von 2 Variablen ab \(f=f(x_1,x_2)\). Bei der partiellen Ableitung nach \(x_1\) tut man so, als wären alle anderen Variablen konstant, also hält man hier in der Aufgabe \(x_2\) fest:$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(28\cdot\ln(x_1)\right)+\frac{\partial}{\partial x_1}\underbrace{\left(14\cdot\ln(x_2)\right)}_{=\text{const.}}=28\cdot\frac{1}{x_1}$$Bei der partiellen Ableitung nach \(x_2\) tut man so, hält man wieder alle anderen Variablen konstant, also:$$\frac{\partial f}{\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_2}\underbrace{\left(28\cdot\ln(x_1)\right)}_{=\text{const.}}+\frac{\partial}{\partial x_2}\left(14\cdot\ln(x_2)\right)=14\cdot\frac{1}{x_2}$$Die partiellen Ableitung fasst man in einem Vektor namens Gradient zusammen:$$\operatorname{grad}f(x_1,x_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{28}{x_1}\\[1ex]\frac{14}{x_2}\end{pmatrix}$$Speziell an der Stelle \(\vec a=(2;3)\) hat der Gradient den Wert:$$\operatorname{grad}f(2;3)=\begin{pmatrix}\frac{28}{2}\\[1ex]\frac{14}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\[1ex]\frac{14}{3}\end{pmatrix}$$
