Funktionsgleichung einer Funktion 4. Ordnung bestimmen

Question

Ich brauche mal wieder eure Hilfe bei einer Aufgabe, hoffentlich wisst ihr wie die geht! Ich bedanke mich schonmal im voraus!

Die Aufgabe:

Der Graph einer Funktion 4. Ordnung verläuft bezüglich der y-Achse symmetrisch und geht durch den Koordinatenursprung. Die Tangente im Punkt P (1/-17) besitzt die Steigung -32.

Bestimmen sie die Funktionsgleichung.

Answer 1

Durch die Achsensymmetrie zur y-Achse entfallen alle ungeraden Potenzen. Wähle also:

\(f(x)=ax^4+bx^2+c\) als Ansatz.

\(f\) geht durch den Koordinantenursprung: \(f(0)=c=0\)

Die Tangente im Punkt \(P(1|-17)\) besitzt die Steigung \(-32\): \(f(1)=-17\) und \(f'(1)=-32\)

Comments

Okay danke, und weiter? Verstehe das echt nicht :(

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Also, du hast \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) und die Bedingungen herausgearbeitet. Hiermit hast du schon den schwierigsten Teil hinter dir.

Wenn ich schreibe \(f(0)=0\) meine ich damit, dass:

\(f(0)=a\cdot 0^4+b\cdot 0^2+c=0\) sein muss. Damit folgt also, dass \(c=0\).

Wenn ich schreibe \(f(1)=-17\), dann meine ich damit:

\(f(1)=a\cdot 1^4+b\cdot 1^2+c=a+b+c=-17\). Da du weißt, dass \(c=0\), kannst du auch \(a+b=-17\) schreiben.

Wenn ich schreibe \(f'(1)=-32\) musst du deine Ansatzfunktion \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) erst einmal einmal ableiten, also \(f'(x)=4ax^3+2bx\). Also:

\(f'(1)=4a\cdot 1^3+2b\cdot 1=4a+2b=-32\). Du hast also noch ein 2x2-Gleichungssystem zu lösen:

(i) \(a+b=-17\)

(ii) \(4a+2b=-32\)

Aber \(c=0\) nicht vergessen!

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okay... und dann?

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Hast du a,b berechnet?

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nein, ich hab keine Ahnung was und wie ich das machen soll.

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Du weißt doch, was ein Gleichungssystem ist?

a+b=-17 und 4a+2b=-32

Du könntest z. B. die erste Gleichung nach a umstellen: a=-17-b und das dann in die zweite Gleichung einsetzen:

4(-17-b)+2b=-32 ....

daraus folgt b=-18 und a=-17-(-18)=1

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okay, das heißt sie haben gerade a und b berechnet. (?) wie gehts dann weiter?

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Ja, du suchst eine Funktion mit dem Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) und hast jetzt \(a,b,c\) gefunden. Du hast also \(f(x)=1\cdot x^4-18x^2+0=x^4-18x^2\). Mir scheint es so, als wüsstest du weder um was es gerade geht noch im geringsten was du zu tun hast. Du solltest dringend dieses Thema wiederholen.

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hab eben einen Englischaufsatz geschrieben. mache für heute mal eine pause und schaue mir das morgen nochmal gründlich an. danke für ihre hilfe :)

Answer 2

Nutze zur Hilfe und Selbstkontrolle

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f'(0)=0
f'''(0)=0 → b = d = 0 aufgrund der Symmetrie

f(0)=0 --> e = 0
f(1)=-17 --> a + c = -17
f'(1)=-32 --> 4a + 2c = -32

Ich herhalte nach dem Lösen die Funktionsgleichung

f(x) = x^4 - 18·x^2

Answer 3

Die Tangente im Punkt P (1/-17) besitzt die Steigung -32.

$$f(x)=ax^4+bx^2+c$$$$f'(x)=4ax^3+2bx$$$$f(0)=c=0$$$$f(1)=a+b=-17$$$$f'(1)=4a+2b=-32$$$$2a=2$$

$$a=1; b=-18;c=0$$

$$f(x)=x^4-18x^2$$

Answer 4

Der Graph einer Funktion 4. Ordnung verläuft bezüglich der y-Achse symmetrisch und geht durch den Koordinatenursprung. Die Tangente im Punkt P (1/-17) besitzt die Steigung -32.
Symmetrie bezüglich der y-Achse => nur gerade
Potenzen
f ( x ) = ax^4 + bx^2 + c
geht durch Koordinatenursprung
( 0 | 0 )
f ( 0 ) = a*0 + b*0 + c = 0  => c = 0
f ( x ) = ax^4 + bx^2
f ´( x ) = 4a * x^3 + 2bx

( 1 | -17 )
f ( 1 ) = a*1^4 + b * 1^2 = -17
f ´( 1 ) = 4a * 1^3 + 2b *1 = -32

a + b = -17  =>  b = -17 - a
4a + 2b = -32 
b einsetzen
---------------
4a + 2 * ( -17 - a ) = -32
4a - 34 - 2a = -32
2a = 2
a = 1
Einsetzen
a + b = -17
1 + b = -17
b = -18

f ( x ) = x^4 - 18 * x^2

Answer 5

Ein anderer Zugang zur Lösung:

"Der Graph einer Funktion \( 4 . \) Ordnung verläuft bezüglich der \( y \) -Achse symmetrisch und geht durch den Koordinatenursprung. Die Tangente im Punkt \( P(1 \mid-17) \) besitzt die Steigung -32."
Symmetrie zur y-Achse und Graph durch den Ursprung bedeutet einen Extremwert (doppelte Nullstelle) an dieser Stelle:
Symmetrie heit nun auch,dass die beiden Nullstellen gleichweit vom Ursprung entfernt sind
\( f(x)=a \cdot x^{2} \cdot(x-N) \cdot(x+N)=a \cdot x^{2} \cdot\left(x^{2}-N^{2}\right) \)
\( P(1 \mid-17) \)
\( f(1)=a \cdot\left(1-N^{2}\right) \)
\( a \cdot\left(1-N^{2}\right)=-17 \rightarrow a \cdot\left(N^{2}-1\right)=17 \rightarrow a=\frac{17}{N^{2}-1} \)
\( f(x)=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[x^{2} \cdot\left(x^{2}-N^{2}\right)\right]=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[x^{4}-N^{2} \cdot x^{2}\right] \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[4 x^{3}-2 N^{2} \cdot x\right] \)
\( f \cdot(1)=\frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[4-2 N^{2}\right] \)
\( \frac{17}{N^{2}-1} \cdot\left[4-2 N^{2}\right]=-32 \)
\( N_{3}=-3 \cdot \sqrt{2} \)
\( N_{4}=3 \cdot \sqrt{2} \rightarrow N^{2}=18 \)
\( a=\frac{17}{18-1}=1 \)
\( f(x)=x^{2} \cdot\left(x^{2}-18\right)=x^{4}-18 x^{2} \) mfG Moliets