Fragen zu Aufgaben (Komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

1) \( \sqrt[3]{i} \)

2) \( z^{4}+7 z^{2}+12=0 \)

3) \( z^{2}+z \bar{z}+\bar{z}^{2}=0 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe hier 3 Aufgaben zu Komplexen Zahlen wo ich mir unsicher  bzw. Schwierigkeiten dabei habe.

Zu 1) Bei solchen Aufgaben ist es üblich dies in Polarkoordinaten umzuwandeln. Also den radius und den Winkel phi. Aber hier wäre ja phi = arctan{1/0}, weil ja der radius den Wert 0 beträgt. Aber die Division durch 0 ist ja undefiniert. Wie soll ich da vorgehen?

Zu 2) Ich gehe so vor, indem ich \( u= z^{2} \) und \( u^{2} = z^{4} \)setze. Es kommt \( u=-3,u=-4 \) heraus. Wenn ich jetzt \( u \) mit \( z^{2} \) rücksubstituiere kommt \( z=\sqrt{3} i, z=-\sqrt{3} i, z=2 i, z=-2 i \) heraus. Würde das so stimmen?

Zu 3) habe ich leider keinen Ansatz da ich nicht weiß, was ich mit dem Ausdruck z konjugiert anfangen soll

Comments

Text erkannt:

Versuch einer Lösung zu 3 )
\( z^{2}+z \cdot \bar{z}+\bar{z}^{2}=0 \)
Es sei \( z=3+i \) dann ist \( \bar{z}=3-i \)
$$ \begin{array}{l} {\left[(z-3-i)^{2}\right]+[(z-3-i) \cdot(z-3+i)]+\left[(z-3+i)^{2}\right]=0} \\ {\left[z^{2}-(6+2 i) \cdot z+8+6 i\right]+\left[z^{2}-6 z+10\right]+\left[z^{2}-(6-2 i) \cdot z+8-6 i\right]=0} \end{array} $$
\( \left[z^{2}-6 z-2 i \cdot z+8+6 i\right]+\left[z^{2}-6 z+10\right]+\left[z^{2}-6 z+2 i \cdot z+8-6 i\right]=0 \)
\( 3 z^{2}-18 z+26=0 \)
\( z_{1}=3-\frac{1}{3} \sqrt{3} \)
\( z_{2}=3+\frac{1}{3} \sqrt{3} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets
PS: Wenn ich direkt : \( (3+i)^{2}+(3+i) \cdot(3-i)+(3-i)^{2} \) ausrechne, erhalte ich \( 26 . \) Die Zahl taucht nun bei \( 3 z^{2}-18 z+26=0 \) auf.

Answer 1

a)

Du darfst gerne Wissen, das das ein Winkel von 90 Grad ist

Siehst du das in der Skizze?

b)

z = - √3·i ∨ z = √3·i ∨ z = - 2·i ∨ z = 2·i wäre so richtig.

c)

(a + b·i)^2 + (a + b·i)·(a - b·i) + (a - b·i)^2 = 3·a^2 - b^2 = 0

Comments

ah ja mein Fehler, das wären ja dann pi/2. Also haben wir einen radius von 1 und einen Winkel von pi/2. Stimmt das so?

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ah ja mein Fehler, das wären ja dann pi/2. Also haben wir einen radius von 1 und einen Winkel von pi/2. Stimmt das so?

Das würde stimmen.

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Danke, c ist jetzt auch soweit klar. Aber was soll ich mit 3a^2-b^2=0 anfangen? Einfach a und b ermitteln?

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Du hast eine Gleichung mit 2 Unbekannten das gibt daher keine eindeutige Lösung.

Wenn a 1 ist könnte b also √3 sein

z = (1 + √3·i) wäre also eine von unendlich vielen Lösungen.

Answer 2

Text erkannt:

Ich habe nicht substituiert und bekomme dieselben Werte wie du:
\( z^{4}+7 z^{2}+12=0 \)
\( z^{4}+7 z^{2}=-12 \mid+q \cdot E \cdot\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4} \)
\( z^{4}+7 z^{2}+\frac{49}{4}=-12+\frac{49}{4} \)
\( \left(z^{2}+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \)
1. \( z^{2}=-\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=-3=3 i^{2} \)
\( z_{1}=i \sqrt{3} \)
\( z_{2}=-i \sqrt{3} \)
2. \( x^{2}=-\frac{7}{2}-\frac{1}{2}=-4=4 i^{2} \)
\( z_{3}=2 i \)
\( z_{4}=-2 i \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Answer 3

1)

$$f(x)=\sqrt[3]{i} = $$$$ \sqrt[3]{COS (90°)+i*sin(90°)} $$ 

$$x_1= cos (30°)+i*sin (30°)=$$$$ 0,5* \sqrt{3} +0,5 i$$

$$x_2= cos (150°)+i*sin (150°)=$$$$ -0,5* \sqrt{3} +0,5 i$$

$$x_3= cos (270°)+i*sin (270°)=$$$$0- i=i$$

3)

$$ z^{2}+z \bar{z}+\bar{z}^{2}=0 $$$$(a+bi)^2+ (a+bi)(a^2+b^2)^{0,5}$$$$+a^2+b^2=0$$$$2abi+ (a+bi)(a^2+b^2)^{0,5}$$$$+2a^2=0$$$$a(a^2+b^2)^{0,5}=-2a^2$$$$(a^2+b^2)^{0,5}=-2a$$$$a^2+b^2=4a^2$$$$b= \sqrt{3}a$$