Funktionsgleichung einer Parabel 3. Ordnung mit 4 Achsenschnittpunkten?

Question

Bestimmen sie die Funktionsgleichung einer Parabel 3.Ordnung welche durch folgende Punkte festgelegt ist. Bsp: A(-2/3) B(-1/-7) C(1/-3) D(3/3)


weiß jemand wie das geht? :/

Answer 1

Hi,

allgemein Form sieht so aus: y=ax^3+bx^2+cx+d

Es braucht also vier Gleichungen um die Variablen zu lösen. Stellen wir die Bedingungen auf:

f(-2)=3
f(-1)=-7

f(1)=-3

f(3)=3


Das nun in die allgemeine Form einsetzen:

-8a + 4b - 2c + d = 3

-a + b - c + d = -7

a + b + c + d = -3

27a + 9b + 3c + d = 3


Löst man nun dieses LGS erhält man:

a=-0,75   b=2,5  c=2,75   d=-7,5


Es ist also f(x)=-0,75x^3+2,5x^2+2,75x-7,5 eine Funktion dritten Grades, welche genau durch obige Punkte geht.


Grüße

Answer 2

A(-2/3) B(-1/-7) C(1/-3) D(3/3)

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(-2) = 3
a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = 3
-8a + 4b - 2c + d = 3

f(-1) = -7
-a + b - c + d = -7

f(1) = -3
a + b + c + d = -3

f(3) = 3
27·a + 9·b + 3·c + d = 3

Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem.

-8a + 4b - 2c + d = 3
-a + b - c + d = -7
a + b + c + d = -3
27·a + 9·b + 3·c + d = 3

Die Lösung ist hier a = -0.75 ∧ b = 2.5 ∧ c = 2.75 ∧ d = -7.5

Du kannst solche Sachen bei Wolframalpha mit einer Schritt für Schritt Lösung lösen lassen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-8a%2B4b-2c%2Bd%3D3%2C-a%2Bb-c%2Bd%3D-7%2Ca%2Bb%2Bc%2Bd%3D-3%2C27a%2B9b%2B3c%2Bd%3D3