Zahlen, die sämtliche Ziffern beinhalten

Question

Aufgabe:

Gibt es positive ganze Zahlen, die sämtliche Ziffern von 0-9 mindesten einmal beinhalten und für die auch alle positiven Vielfachen diese Eigenschaft haben.

Bsp.:

1234567890 erfüllt die erste Bedingung, allerdings ist 1234567890*3=3703703670, die zweite Bedingung wird also nicht erfüllt.

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher leider keine Ahnung, woran man diese Eigenschaft feststellen kann. Ich vermute, dass es keine derartige Zahl gibt... Über jeden Vorschlag für einen Ansatz freue ich mich sehr. Vielen Dank für eure Mühe!

Comments

Für k∈ℕ ist k/19≈[0.052631578947368421052, 0.10526315789473684210, 0.15789473684210526315, 0.21052631578947368421, 0.26315789473684210526, 0.31578947368421052631, 0.36842105263157894736, 0.42105263157894736842, 0.47368421052631578947, 0.52631578947368421052, 0.57894736842105263157, 0.63157894736842105263, 0.68421052631578947368, 0.73684210526315789473, 0.78947368421052631578, 0.84210526315789473684, 0.89473684210526315789, 0.94736842105263157894, 1, 1.0526315789473684210] und so weiter. Also ist 526315789473684210 so eine Zahl. Gilt allerdings nicht für k=Vielfaches von 19.

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Also ist 526315789473684210 so eine Zahl.

526315789473684210 * 19 = 9999999999999999990

Deine Aussage ist damit wiederlegt.

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Das Problem mit der 3 kann gelöst werden,

$$14102030405060708090*3=$$$$423060912151821270$$

Doch dann taucht das Problem. Mit der 2 auf.

$$14102030405060708090*2=$$$$242040608010121416180$$

da fehlt die 3 und 5, auch das Problem ist zu lösen.

$$152514102030405060708090*2=$$$$3050242040608010121416180$$

Doch ich habe das Gefühl, dass immer wieder neue Probleme auftauchen können, die aber immer wieder gelöst werden können.

Für eine begrenzte Menge von k∈ℕ ist es also möglich, eine Zahl N zu finden, für die, sowie N als auch N*k die gewünschte Eigenschaft haben.

Doch für k∈ℕ ist dies Verfahren nicht geeignet. Das ist aber eher ein Gefühl .

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Ich finde die Frage durchaus Interessant. Du hast den Tag "Teilbarkeit mit angegeben".

Wenn das eine Übungsaufgabe ist dann ist es hilfreich zu wissen in welchem Rahmen ihr die macht. Das hilft eventuell in die richtige Richtung zu denken.

Da es prinzipiell unendlich viele Zahlen und Faktoren gibt müsste man ja einen Beweis machen, dass es solch eine Zahl gibt oder eben nicht gibt.

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Für k=19 ist es einfach eine Zahl zu finden.

1000200030004000500060007000800090

ist z.B. eine solche Zahl.

Wie gesagt, für eine begrenzte Menge kann es aufwendig sein, doch es ist immer möglich.

Es ist möglich für jedes k eine Zahl zu finden, wenn ich eine begrenzte Anzahl von k-s habe dann hänge ich diese jeweils gefundenen Zahlen einfach mit genügend Nullen dazwischen aneinander, dann habe ich eine Lösung für alle diese Zahlen gefunden, doch was sagt mir, dass es auch für alle k∈N gilt?

Answer 1

Für jeden Faktor k∈N ist es möglich eine gewünschte Zahl zu finden, auch für eine begrenzte Zahl an Faktoren ist die möglich, doch bisher überschauen ich nicht die Folgen für alle k∈N, wobei ich denke, dass wir uns auf die natürlichen Zahlen begrenzen sollten.

Das Problem mit der 3 kann gelöst werden,

14102030405060708090*3=
14102030405060708090∗3=
423060912151821270
423060912151821270


Doch dann taucht das Problem. Mit der 2 auf.

14102030405060708090*2=
14102030405060708090∗2=
242040608010121416180
242040608010121416180


da fehlt die 3 und 5, auch das Problem ist zu lösen.

152514102030405060708090*2=
152514102030405060708090∗2=
3050242040608010121416180
3050242040608010121416180


Doch ich habe das Gefühl, dass immer wieder neue Probleme auftauchen können, die aber immer wieder gelöst werden können.

Für eine begrenzte Menge von k∈ℕ ist es also möglich, eine Zahl N zu finden, für die, sowie N als auch N*k die gewünschte Eigenschaft haben.

Doch für k∈ℕ ist dies Verfahren nicht geeignet. Das ist aber eher ein Gefühl .