Schwere Exponentialgleichung lösen

Question

Aufgabe:

8^(2x-1)+8^(2x+1)=3^(3x-2)+3^(3x+2)

x~0,1327...

Mithilfe der Potenzgesetzen umformen, alle x auf eine Seite bringen und anschließend nach x auflösen.

Problem/Ansatz:

Ich sitze schon seit 4 Stunden an der einen einzigen Aufgabe und kriege es einfach nicht hin. Kein einziges Mal habe ich den x rausbekommen. Alles einzeln zu logarithmieren habe ich schon hinbekommen, allerdings ohne Erfolg.

Answer 1

8^2x und 3^3x ausklammern :

8^2x (8 + 1/8) = 3^3x (9 + 1/9)

zusammenfassen und Potenzrechenregeln anwenden:

8^2x / 3^3x = (9 + 1/9) / (8 + 1/8) = 82/9 / 65/8 = 656 / 585

(8^2)^x / (3^3)^x = (64 / 27)^x = 656 / 585

Logarithmus nehmen von beiden Seiten der Gleichung:

x ln (64 / 27) = ln (656 / 585)

x = ( ln (656 / 585) ) / ( ln (64 / 27) ) = mit Taschenrechner Ergebnis ausrechnen

Answer 2

\(8^{2x-1}+8^{2x+1}=3^{3x-2}+3^{3x+2}\)

lässt sich schreiben als

\(\frac{1}{8}\cdot 8^{2x}+8\cdot 8^{2x}=\frac{1}{9}\cdot 3^{3x}+9\cdot 3^{3x}\)

Damit hast du links und rechts jeweils etwas zum Ausklammern.

Im weiteren Verlauf wird dir helfen, dass du 8 als 2^3 schreiben kannst und demzufolge

\(8^{2x} =2^{3\cdot 2x} =2^{2\cdot 3x}=4^{3x}\) ist.