Untersuchen Sie f(x)=x^4-2x^2 mithilfe des Monotoniesatzes auf Monotonie

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion f mithilfe des Monotoniesatzes auf Monotonie

f(x)= x^4-2x^2

muss ich das hier mit GeoGebra machen?

Comments

Es wird eindeutig gefordert, dass du das Monotonieverhalten mithilfe des Monotoniesatzes untersuchen sollst. Wie kommst du da auf GeoGebra?

Answer 1

Aloha :)

Über das Monotonie-Verhalten der Funktion$$f(x)=x^4-2x^2$$gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft:$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=4(x+1)x(x-1)$$Die Linearfaktoren der ersten Ableitung haben wir in der Reihenfolge angeordnet, in der sie null werden. Daraus ergeben sich 4 Fälle:

1. Fall: \(x<-1\)$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{<0}\cdot\underbrace{x}_{<0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{<0}<0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton fallend}$$2. Fall: \(-1<x<0\)$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{>0}\cdot\underbrace{x}_{<0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{<0}>0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton wachsend}$$3. Fall: \(0<x<1\)$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{>0}\cdot\underbrace{x}_{>0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{<0}<0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton fallend}$$4. Fall: \(x>1\)$$f'(x)=4\underbrace{(x+1)}_{>0}\cdot\underbrace{x}_{>0}\cdot\underbrace{(x-1)}_{>0}>0\quad\Rightarrow\quad\text{streng monoton steigend}$$

Wir fassen zusammen:$$f(x)=x^4-2x^2\text{ ist }\left\{\begin{array}{lcl}\text{streng monoton fallend} & \text{für} & x<-1\\\text{streng monoton wachsend} & \text{für} & -1<x<0\\\text{streng monoton fallend} & \text{für} & 0<x<1\\\text{streng monoton wachsend} & \text{für} & x>1\end{array}\right.$$

~plot~ x^4-2x^2 ; x=-1; x=0 ; x=1 ; [[-2|2,2|-1,5|4]] ~plot~

Answer 2

Nein, nur mit Gehirn und Monotoniesatz. Und vor allem: keinesfalls mit Geogebra.

Answer 3

muss ich das hier mit GeoGebra machen?

Ich würde "müssen" durch "können" ersetzen. Du kannst aber auch die erste Ableitung \(f'(x)\) als Maß der Steigung betrachten und schauen, wo eine negative, bzw. positive Steigung zu vernehmen ist.

\(f'(x)=4x(x^2-1)>0 \Leftrightarrow (4x>0 \, \land  x^2-1>0) \, \vee (4x<0 \, \land x^2-1<0) \)

\(f'(x)=4x(x^2-1)<0 \Leftrightarrow (4x<0 \, \land x^2-1>0) \, \vee (4x>0 \, \land x^2-1<0)\)

Für \(f'(x)>0\) erhältst du damit \((-1,0)\cup (1,\infty)\)

Für \(f'(x)<0\) folglich \((0,1)\cup (-1,-\infty)\)

Für \(x=\pm 1\) und \(x=0\) ist die Steigung \(0\), dort befinden sich lokale Extrema.