Funktion f mithilfe der ersten Ableitung rechnerisch auf Monotonie untersuchen. Bsp: c) f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 2x

Question

a) f (x) = -x^2 + 3

b) f (x) = -9

c) f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 2x

Answer 1

Monoton wachsend: Wenn die Ableitung an jeder Stelle ≥0 ist.

Monoton fallend: Wenn die Ableitung an jeder Stelle ≤0 ist.

a) f (x) = -x² + 3

f'(x)=-2x

Für x≥0 ist f'(x)≤0   => monoton fallend

Für x≤0 ist f'(x)≥0  => monoton wachsend

Also ist f(x) im Intervall ]-∞, 0] monoton fallend und im Intervall [0, ∞] monoton wachsend.

 

b) f (x) = -9

f'(x)=0

Da f'(x)=0, ist f(x) konstant und somit monoton fallend und wachsend.

 

c) f(x) = 4x³ - 2x² + 2x

f'(x)=12x^2-4x+2

Da f'(x)≥0 für alle x∈ℝ, ist f(x) monoton wachsend.