untersuche die Funktion f mithilfe der ersten Ableitung rechnerisch auf Monotonie

Question

Ich bin mir bei diesem Thema ziemlich unsicher, ob ich es kann. Es wäre sehr nett, wenn ihr Erklärungen zu den Rechenschritten aufschreibt.

a)  f(x) = x^2 +10

b)  f(x) = x^3  - 9

Answer 1

Eine Funktion ist in einem Intervall monoton, wenn ihre Ableitung in diesem Intervall überall größergleich Null  oder überall kleinergleich Null ist..

Vorliegend soll das betrachtete Intervall vermutlich ganz R sein.

a)

f ( x ) = x ² + 10

f ' ( x ) = 2 x

Es gilt:

f ' ( x ) ≤ 0 für x ≤ 0
und
f ' ( x ) ≥ 0 für x ≥ 0

Also ist f ' ( x ) nicht überall größergleich Null  oder überall kleinergleich Null und damit ist f ( x ) nicht monoton.

b)

f ( x ) = x ³ - 9

f ' ( x ) = 3 x ²

Es gilt:

f ' ( x ) ≥ 0 für alle x ∈ R

Also ist f ' ( x ) überall größergleich Null und damit ist f ( x ) monoton.

c)

f ( x ) = x - 2

f ' ( x ) = 1

Es gilt:

f ' ( x ) ≥ 0 für alle x ∈ R

Also ist f ' ( x ) überall größergleich Null und damit ist f ( x ) monoton.

d)

f ( x ) = x ⁴ + x ²

f ' ( x ) = 4 x ³ + 2 x

Es gilt:

f ' ( x ) ≤ 0 für x ≤ 0
und
f ' ( x ) ≥ 0 für x ≥ 0

Also ist f ' ( x ) nicht überall größergleich Null  oder überall kleinergleich Null und damit ist f ( x ) nicht monoton.

Answer 2

a)  f(x) = x² +10

Das ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt in (0 | 10). Da braucht man nicht mal eine Ableitung um etwas über die Monotonie aussagen zu können.

b)  f(x) = x³  - 9

Wir haben eine Funktion x^3 die um 9 nach unten verschoben wurde. Durch eine Verschiebung nach unten ändert sich nichts an der Monotonie der Funktion. Auch hier brauchst nu nicht mal eine Ableitung.

Mache dir auch eine Skizze der beiden Funktionen. Spätestens dann sollte dir ein Licht aufgehen. Dann kannst du auch noch die Ableitung bilden und damit die Monotonie untersuchen. Da sollte eigentlich aber schon klar sein was du erwartest.

Comments

Bei diesen Aufgaben bin ich mir auch etwas unsicher, was die Monotonie betrifft.
c)     f(x) = x-2                    d)   f(x) = x^4 + x^2

---

Was kannst du über die Monotonie von f(x) = x sagen? f(x) = x - 2 ist nur um 2 nach unten verschoben. An der Monotonie ändert sich nichts.

Was weißt du über die Monotonie von x^2 und x^4 getrennt. Was denkst du über die Summe dieser Funktionen?