wie liesse sich die ursprüngliche Situation verallgemeinern, wenn man den Punkt P außerhalb des gleichseitigen …

Question

Aufgabe: Mathematische Beweis

Problem/Ansatz:gegeben sind ein gleichseitiges Dreieck ABC sowie ein Punkt P im inneren. In untenstehendes figurenfolge sind für die drei verschiedene Lagen von jeweils die Abstände von P zu den Seiten gegeben.

1) formuliere eine Vermutung, die Abstände betreffend.

Die Summe der Abstände xyz von p zu den Dreieckseiten konstant.

2) wie liesse sich die ursprüngliche Situation verallgemeinern, wenn man den Punkt P außerhalb des gleichseitigen Dreiecks platziert?

Answer 1

Das gleichseitige Dreieck habe die Seitenlänge a und die Höhe H.
Es gilt: Fläche des grünen Dreiecks + Fläche des blauen Dreiecks = Fläche des gleichseitigen Dreiecks + Fläche des roten Dreiecks, also:
\( \frac{ah_3}{2} \) +\( \frac{ah_1}{2} \) =\( \frac{aH}{2} \) +\( \frac{ah_2}{2} \). Dann ist h₁+h₃-h₂=H. In Worten: Liegt der Punkt außerhalb des Dreiecks, dann ist die Summe zweier seiner Abstände von den Seiten vermindert um den dritten Abstand von einer Seite konsant.

Besser: Überspringt der Punkt P eine Seite des gleichseitigen Dreiecks, so geht der zugehörige Abstand von der übersprungenen Seite negativ in die konstante Summe ein.