Wieso konvergiert a(n) = (1 + 1/√n)^{-n} gegen 0?

Question

Aufgabe:

\( a(n)=\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n} \)

Wieso konvergiert das gegen 0?

1/√n geht gegen 0, demnach geht der Term in der Klammer gegen 1 und 1^{-n} konvergiert ebenfalls gegen 1.

Comments

a^n → 0 , |a|<1 gilt nur für konstante a.

Nach deiner Begründung wäre auch

lim n ---> ∞ (n/(n+1))^n =0

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{n}}=\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}\right]^{\sqrt n}}=\left(\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}}\right)^{\sqrt n}$$Wegen \(e^x\to1+x\) für \(x\ll1\) kannst du dir überlegen:$$e=e^1=e^{\sqrt n/\sqrt n}=\left(e^{1/\sqrt n}\right)^{\sqrt n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}$$Für sehr große \(n\) gilt also:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^{\sqrt n}}\right)^{\sqrt n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{\sqrt n}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{-\sqrt n}=0$$

Comments

RCs Antwort ist schlicht falsch, A und T wiederholen das falsche Argument des Fragestellers, dass nämlich   lim (a_n ^b_n) = lim ((lim a_n) ^b_n) wäre, nur in diesem Fall zufällig mit dem richtigen Ergebnis.

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Wie hättest du diese Aufgabe gelöst? @Gast hj2166 ?

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mit l'Hospital

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Würde nach erneutem Sinnieren lieber das Einschließungskriterium verwenden als die Allzweckwaffe von L'Hopital anzuwenden, die unzählige Voraussetzungen, die alle separat nachgewiesen werden, braucht.

Answer 2

Hallo, du kannst auch zunächst (wie racine_carrée in einem früheren Kommentar andeutete) deinen Ausdruck geschickt einengen. Das könnte zb so aussehen:

Zunächst kann \(b(n)=0\) als untere Schranke gewählt werden, denn offenbar gilt hier für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) auch \(0\leq a(n)\).

Nun zur Abschätzung nach oben, die du aber nur benutzen kannst, wenn ihr die Bernoullische-Ungleichung \((*)\) schon kennt (bestimmt ??). Dann bekommt man

\(a(n)=\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n}}\stackrel{(*)}{\leq} \frac{1}{1+n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}}=\frac{1}{1+\sqrt{n}}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{1}{n}}\).

Weiter gilt mit \(x_n:=\frac{1}{n}\) auch \(\lim\limits_{n\to\infty} x_n=0\), womit auch \(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{x_n}=\sqrt{0}=0\) gilt (was man mit Konvergenzdefinition nachweisen kann, falls noch nicht getan).

Insgesamt hast du also \(0=b(n)\leq a(n)\leq \sqrt{x_n}=\sqrt{\frac{1}{n}}\).

Answer 3

Wieso konvergiert das gegen 0?

Weil \(e^{-\sqrt{n}}\) gegen 0 konvergiert.

Answer 4

Hallo

setze mal 1/√n=m d.h, du siehst erst mal nur die Glieder mit n Quadratzahl an dann hast du (1+1/m)^m=e, ((1+1/m)^m)^m=e^m

mit deinem Argument wäre e=1

Gruß lul