Untersuche, ob die Vektoren u,v,w eine Basis des R^3 bilden.

Question

Aufgabe:

Es seien \(u = \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) , \(v = \begin{pmatrix}7\\ -2\\ 6\end{pmatrix}\) und \(w = \begin{pmatrix}9\\ 4\\ -8\end{pmatrix}\) . Untersuche, ob die Vektoren \(u,v,w\) eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) bilden, und bestimme ggf. die Darstellung des Vektors

\(x = \begin{pmatrix}3\\ 2\\ -2\end{pmatrix}\) bezüglich dieser Basis.

Problem/Ansatz: Ich brauche unbedingt bei dieser Aufgabe Hilfe. Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll. Dankeschön schon mal im Voraus.

Answer 1

Linear unabhängig bedeutet doch einfach nur, dass man mit einer Menge von Vektoren \(v_1,...,v_n\in V\) in einem \(\mathbb{K}\)-Vektorraum (bei dir konkret der \(\mathbb{R}^3\)) den Nullvektor \(0_V\in V\) nur trivial darstellen kann, d.h., aus der Darstellung \(\alpha_1\cdot v_1+...+\alpha_n\cdot v_n=0_V\)

folgt \(\alpha_1=...=\alpha_n=0_{\mathbb{K}}\in \mathbb{K}\), wobei \(\alpha_1,...,\alpha_n\in \mathbb{K}\) Körperelemente (bei deinem konkreten Fall also reelle Zahlen) sind.

Zeige also, dass aus \(\alpha_1\cdot u+\alpha_2\cdot v+\alpha_3\cdot w=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\) nun

\(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\in \mathbb{R}\) folgt. (-> Lineares Gleichungssystem lösen).

Für den \(\mathbb{R}^3\) brauchst du drei linear unabhängige Vektoren. Sind nun deine gegebenen Vektoren \(u,v,w\) linear unabhängig, so bilden diese bereits eine Basis vom \(\mathbb{R}^3\). Stelle dann damit \(x\) als Linearkombination der Form

\(\beta_1\cdot u+\beta_2\cdot v+\beta_3\cdot w=x\) da. (-> Lineares Gleichungssystem lösen).