ich muss folgende Aufgabe für Lina lösen und würde gerne wissen ob meine Vorgehensweise und Ergebnis korrekt sind.
Aufgabe:
Untersuchen sie ob U ein UV ist und falls ja geben sie die Basis an:
$$\mathbb{K} = \mathbb{R},\mathbb{V} = \mathbb{R}^3 \land U =\{(x_1,x_2,x_3):3x_1 = x_2\}$$
Untersuchung des UV über die UV Kriterien:
(i) Beweis 0 Vektor ist in U enthalten:
\(\text{ Sei } x_1,x_2,x_3 = 0 \land u=\{(x_1,x_2,x_3):3x_1 = x_2\} \\\Longrightarrow u=\{(0,0,0): 3x_1 = x_2\} \\\Longrightarrow 3 * 0= 0 \\\Longleftrightarrow 0 = 0 \checkmark\)
(ii) Beweis, dass U ist abgeschlossen ist bezüglich der Addition:
\(\text{ Sei } u=\{(u_1,u_2,u_3):3u_1 = u_2\} \land v=\{(v_1,v_2,v_3):3v_1 = v_2\} \land u,v \in U \\ u + v = \begin{pmatrix} u_1\\ 3u_1\\u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1\\ 3v_1\\v_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1 + v_1\\ 3(u_1+v_1)\\u_1+v_3 \end{pmatrix} \in U \checkmark\)
(iii) Beweis, dass U abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation:
\(\\\text{ Sei } u=\{(u_1,u_2,u_3):3u_1 = u_2\} \land \lambda \in \mathbb{K} \land u \in U \\ \lambda * u = \lambda *\begin{pmatrix} u_1\\ 3u_1\\u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda u_1\\ \lambda3u_1\\\lambda u_3 \end{pmatrix} \\\text{Betrachte die Bedienung: } \\ \lambda * 3u_1 = \lambda * u_2 \text{ | } * \frac{1}{\lambda} \\ \frac{\lambda}{\lambda} * 3*u_1 = \frac{\lambda}{\lambda} * u_2 \\ 3*u_1 = u_2 \checkmark\\\Longrightarrow u \in U\)
Ok, schön und gut ich habe gezeigt U ein UV ist.
In der Vorlesung wurde auch erwähnt, dass jeder UV eine Basis hat.
Aber wie genau soll ich hier die Basis definieren?
Ich habe gelesen zum beispiel, dass die Einheitsmatrix eine Basis sei aber auch Vektoren, die an verschiedenen Stellen eine Null haben bzw. Linear unbhängig sind
Soll ich hier an dieser Stelle eine beliebige Basis definieren, die diese Bedienung erfüllt wie zb.
$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
oder einfach sagen, dass U eine Basis aus V bildet, solange die Bedienung ( 3*x_1 = x_2) erfüllt ist?
Ich habe übrigens eine weitere Frage:
In (i) zeige ich ja, dass der Nullvektor in U enthalten ist. Kann ich dann in (ii) oder (iii) den Nullvektor benutzen um die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und Multiplikation zu zeigen?
