Konvergenz von Folgen mit Wurzelzeichen

Question

Aufgabe:

(4) Überprüfen Sie, ob folgende Folgen konvergieren oder divergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
$$ a_{n}=\sqrt{n+1}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}), b_{n}=n^{2}\left(\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}}-2\right) $$

bräuchte bitte Hilfe bei an. Ich habe jetzt mit der konjugierten Wurzel erweitert und stecke jetzt bei 2n+2/(sqrt(n+1)*(sqrt(n+2)+sqrt(n)) fest.

Danke für jede Hilfe

Answer 1

√(n + 1)·(√(n + 2) - √n)

Erweitere gemäß der 3. binomischen Formel

= √(n + 1)·(√(n + 2) - √n)·(√(n + 2) + √n) / (√(n + 2) + √n)

= 2·√(n + 1) / (√(n + 2) + √n)

= 2·√(1 + 1/n) / (√(1 + 2/n) + √1)

Für n gegen unendlich

= 2·√(1 + 0) / (√(1 + 0) + √1) = 1

Comments

Vielen Dank! Du hast also im 3. Schritt Nenner und Zähler mit 1/n multipliziert oder?

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Mit der √(1/n) habe ich multipliziert.

Oder Zähler und Nenner durch √(n) geteilt.