Wie berechnet man die Zentripetalbeschleunigung?

Question

Aufgabe:

In alten Science-Fiction Romanen (geschrieben zwischen 1950 und 1970), die meist zwischen 1985
und der Jahrtausendwende spielen, dienen häufig rad- oder scheibenförmige Raumstationen in einer Umlaufbahn um die Erde als Startbasis für Raumschiffe zum Mond oder anderen Planeten
unseres Sonnensystems. Damit die Besatzung nicht ständig Schwerelosigkeit empfindet, werden
diese Stationen in Rotation versetzt, um mit Hilfe der Zentrifugalkraft einen künstlichen Schwerkraftersatz zu schaffen. In diesem Beispiel geht es um eine scheibenförmige Raumstation, deren
Aufenthaltsräume in 45 m Entfernung vom Zentrum liegen.
a) Nehmen Sie an, dass die Raumstation den Radius R besitzt und das Koordinatensystem
so gewählt ist, dass für die Winkelgeschwindigkeit ~ω = ω ~e3 gilt (~e3 ist der Standardbasisvektor in z-Richtung). Betrachten Sie den Ortsvektor eines Punktes in der Raumstation,
~r = R cos α ~e1 + R sin α ~e2, und berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung.
b) Auf die Besatzung wirkt die Zentrifugalkraft. Was ist der Unterschied zwischen der Zentripetalkraft und der Zentrifugalkraft?
c) Wie groß muss die Rotationsgeschwindigkeit gewählt werden, wenn die Besatzung sich gerade
so schwer fühlen soll wie auf der Erde? Wie lange dauert dann eine Umdrehung der Station?
d) In 60 m Entfernung vom Zentrum der oben beschriebenen Raumstation verläuft ein ringförmig angelegter Gang, der von der Besatzung gelegentlich zum Joggen benützt wird.
– Welches Gewicht spürt eine Person stehend in 60 m Entfernung vom Zentrum der rotierenden Raumstation?
– Berechnen Sie das jeweilige Gewicht, welches zwei mit 12 km/h laufende Personen spüren, von denen sich eine gleichsinnig, die andere gegensinnig zur Rotation der Raumstation bewegt.

Answer 1

Aloha :)

$$\vec\omega=\begin{pmatrix}0\\0\\\omega\end{pmatrix}=\omega\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec r=\begin{pmatrix}R\cos\alpha\\R\sin\alpha\\0\end{pmatrix}=R\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\\0\end{pmatrix}$$

(a) Die Zentripetalbeschleunigung \(\vec a_z\) finden wir damit so:$$\vec a_z=\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)=\vec\omega\cdot\underbrace{(\vec\omega\cdot\vec r)}_{=0}-\vec r\cdot(\vec\omega\cdot\vec\omega)=-\omega^2\,\vec r=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\\0\end{pmatrix}$$(b) Die Zentripetalkraft wird benötigt, um das Objekt auf seiner Kreisbahn zu halten, damit es nicht tangential wegfliegt. Die Zentrifugalkraft die die Kraft, mit der das Objekt radial nach außen strebt. Beide Kräfte sind betragsmäßig gleich groß, die Zentripetalkraft wirkt nach innen zur Rotationsachse hin, die Zentrifugalkraft wirkt nach außen, von der der Rotationsachse weg.

(c) Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung \(a_z\) soll gleich der Ergbeschleunigung \(g\) sein:$$g\stackrel!=\|\vec a_z\|=\omega^2R(cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\omega^2R\quad\Leftrightarrow\quad \omega=\sqrt{\frac{g}{R}}$$Wegen \(R=45\,\mathrm m\) und \(g=9,81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\) ist die optimale Winkelgeschwindigkeit gleich$$\omega=\sqrt{\frac{9,81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}}{45\,\mathrm m}}\approx0,4669\,\frac{1}{\mathrm s}$$Für die Umdrehungszeit \(T\) der Raumstation gilt dann:$$\omega=\frac{2\pi}{T}\quad\Longrightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}\approx13,46\,\mathrm s$$

(d1) Für \(R=60\,\mathrm m\) und \(\omega=0,4669\,\frac{1}{\mathrm s}\) ist der Betrag der Zentripetalbeschleunigung:$$a_z=\omega^2R=13,08\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\approx1,3333\,g$$Ein auf dem äußeren Ring stehender Mensch ist ein Drittel schwerer als auf der Erde.

(d2) Wenn sich der Mensch mit \(12\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}=\frac{10}{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm s}\) mit der Drehrichtung oder gegeb die Drehrichtung bewegt, erhöht oder vermindert sich für ihn die Winkelgeschwindigkeit:

$$\omega_{\text{mit}}=0,4669\,\frac{1}{\mathrm s}+\frac{\frac{10}{3}\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}}{60\,\mathrm{m}}\approx0,5225\,\frac{1}{\mathrm s}\quad;\quad\omega_{\text{gegen}}=0,4669\,\frac{1}{\mathrm s}-\frac{\frac{10}{3}\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}}{60\,\mathrm{m}}\approx0,4113\,\frac{1}{\mathrm s}$$Das bedeutet für die gespürte Beschleunigung:$$a_{\text{mit}}=\omega_{\text{mit}}^2R\approx1,67\,g\quad;\quad a_{\text{gegen}}=\omega_{\text{gegen}}^2R\approx1,03\,g$$Für eine gemütliche Jogging-Runde sollte man also entgegen der Rotationsrichtung laufen, weil man dann etwa so schwer ist, wie auf der Erde. Beim Laufen in Rotationsrichtung ist man um 2/3 schwerer als auf der Erde, das macht auf die Dauer die Knie kaputt ;)

Answer 2

Hallo

die Zentripetalkraft ist doch immer mω^2*r, unabhängig vom Winkel  alpha auf dem Radius.

Wo liegen denn deine Schwierigkeiten?

lul