Beliebiges Viereck: a) was vermutest du?

Question

Aufgabe: zeichne beliebiges Viereck ABCD und verbinde die Seitenmitten Ma,Mb,Mc,Md aufeinanderfolgend.

Problem/Ansatz: a) was vermutest du ?

B) versuche deine Vermutung zu beweisen?

C) überlege dir mögliche Variationen der von dir gezeichneten Situation.

Answer 1

a) Ich vermute M_aM_bM_cM_d ist ein Parallelogramm.

b) Beweis: Zeichne Diagonale AC und beweise die Parallelität mit der Umkehrung des Strahlensatzes. Verfahre analog mit der Diagonale BD.

Answer 2

Du erhältst ein Parallelogramm.

Beweisen kannst du das mit Vektoren.

Jede Seite des Vierecks wird dabei als Vektor angesehen, sodass

a+b+c+d=o (*)

ist. (Alle mit Vektorpfeil; o ist der Nullvektor.)

Vergleiche nun zwei sich gegenüber liegende Seiten des Mittelpunktvierecks.

Du bekommst z.B. 0,5a+0,5b für die eine und 0,5c+0,5d für die andere Seite.

Mit (*) findest du, dass die Seiten parallel und gleich lang sind.

Ebenso mit dem anderen Seitenpaar.

:-)

Answer 3

$$A_i(x_i ; y_i)$$

0<i<5

Für i=4 folgt i+1=1;i=1fogt i-1=4

$$M_i((x_{i+1}-x_i)/2;(y_{i+1}-y_i))/2)$$

Mit dem Strahlensatz und

Mit i=3 folgt i+2=1 ; mit i=4 folgt i+2 =2

Mit i=2 folgt i-2=4;mit i=1folgt i-2=3

folgt

$$M_iM_{i+1}||A_iA_{i+2}||M_{i-1}M_{i-2}$$

Damit bilden die Punkte

$$M_i$$$$ein$$$$Parallelogramm$$