Wie geht man bei der Geometrieaufgabe vor? Figur in Viereck

Question

Wie geht man bei der Geometrieaufgabe Schritt für schritt vor und kommt auf x = ? 

!!!

Answer 1

Seitenlänge des Quadrates

√((2·√5)^2 + (4·√5)^2) = 10

Winkel CBE

pi/2 - ATAN(2·√5/(4·√5)) = 1.107148717

x über Kosinussatz

√((4·√5)^2 + 10^2 - 2·(4·√5)·10·COS(1.107148717)) = 10

Comments

Man kann das auch sehr leicht geometrisch nachweisen.

DER Winkel CBE ist gleich dem Winkel BAE.

Trage die Mittelsenkrechte über EB ein, die durch den Punkt C geht. Warum geht sie durch C?

Dann kannst du begründen das die entstandenen Teildreiecke kongruent sind und auch x = 10 sein muss.

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Hallo coach,
ATAN(2·√5/(4·√5)) = 0.4636476089
Den Winkel hast du falsch in Bogenmass
angegeben.
Richtig : 26.565 °

Den Gegenwinkel zu 90 ° im rechten
Dreieck : 63.435 °

x^2 = (4·√5)² + 10² - 2·(4·√5)·10·COS(63.435) = 100
x = 10

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Richtig. Ich habe das oben mal verbessert. war übrigens nicht der einzige Fehler. Aber die anderen habe ich gleich mit korrigiert.

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Der Winkel muss nicht explizit berechnet werden, denn mit \(\varphi=\frac\pi2-\arctan\frac12\) gilt \(\cos\varphi=\frac15\sqrt5\).

Answer 2

Die ganzen Angaben unter der Skizze
heißen etwas kürzer formuliert :
Ich bin ein Quadrat.

Das untere Dreieck ist ein rechtwinkliges
Dreieck bei dem die Hypotenuse
10 beträgt.
Damit ist die rechte Seite auch 10.

Für das rechte Dreieck gilt
cos ( a ) = 4 * √ 5 / 10  = 0.8944
a = 26.565 °

dann
sin ( a ) = x / 10
x = 4.472

Comments

Lieber Georg, x muss ungfähr 10 sein.

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Hallo Roland,
kleine Fehlerkorrektur
für das rechte Dreieck muß der cos-Satz angewendet
werden.

zunächst
Das untere Dreieck ist ein rechtwinkliges
Dreieck bei dem die Hypotenuse
10 beträgt.
rechter Winkel im Dreieck
tan b = 2 * √ 5 / 10 = 0.4472
b = 24.095 °

für das rechte Dreieck muß der cos-Satz angewendet
werden.
a = 90 - b =  65.91 °

x^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos ( a )
x^2 = (4*√5)^2 + 10^2 - 2 *(4*√5) * 10 * cos(65.91)
x^2 = 16*5 + 100 - 73.02
x^2 = 106.98
x = 10.3

Roland, mein 2.Angebot.

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Lieber Georg. Wie ich auf dieser Seite vorrechne, kommt genau 10 heraus. Das kommt dabei heraus, wenn man mit gerundeten Ergebnissen weiterrechnet..

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Korrektur
tan b = ( 2 * √ 5 ) / ( 4 * √ 5 ) =  0.5
b = 26.565 °

für das rechte Dreieck muß der cos-Satz angewendet
werden.
a = 90 - 26.565 =  63.435 °

x² = b² + c² - 2 * b * c * cos ( a )
x² = (4*√5)² + 10² - 2 *(4*√5) * 10 * cos(63.435)
x² = 16*5 + 100 - 80
x² = 100
x = 10

Hallo Roland, meine falsche Lösung  hatte nichts
mit Rundungsfehlern zu tun.
Ich hatte die Ankathete falsch angesetzt.
Trotzdem schönen Dank für deinen Fehlerhinweis.

mfg Georg

Answer 3

Seitenlänge des Quadrates

√((2·√5)² + (4·√5)²) = 10

q sei das Lot von E auf AB. r und s seien die Abschnitte in die das Lot AB teilt. Dann ist q²+s²=80 und q²+r² =20.Außerdem ist q²=rs und daher s(r+s)=80 und r(r+s)=20. Division dieser beiden Gleichungen ergibt s/r=4 und wegen s+r=10 ist r=2 und s=8. Dann ist q=4.
Legen wir jetzt das Quadrat in ei Koordinatensysten mit A(0|0). Dann ist x der Abstand der Punkte (2|4)und (10|10). Dieser Abstand ist 10.