Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion

Question

Aufgabe:

1. Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph die \( x \) -Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in \( P(-3 \mid 0) \) parallel zu \( y=6 x \) ist.

3. Bestimme die ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph den Wendepunkt \( W(0 \mid 0) \) mit der \( x \) -Achse als Wendetangente hat und den Tiefpunkt \( A(-1 \mid-2) \) besitzt.

Problem/Ansatz:

a) 
\( f^{\prime}(0)=0 \rightarrow \) Steigung in \( (0 \mid 0) \) ist \( m=0 \)
und deren Tangente in \( \mathrm{P}(-3 / 0) \) parallel zu
\( \mathrm{y}=6 \mathrm{x} \) ist
\( f(-3)=0-~-> \) Graph geht \( \operatorname{durch}(-3 \mid 0) \)
\( f^{\prime}(-3)=6-\cdots \)

Huhu,

Das ist ein Ansatz, den ich im Internet fand. Ich verstehe nicht warum man die Ableitungen macht? Also kann mir bitte jemand schlüssig erklären warum man die erste Ableitung von 0 und -3 macht? Das sind ja keine Tiefpunkte, und warum will ich die steigung dort wissen?

Und c) versteh ich gar nicht!!

Ganz liebe Grüße und danke!!

Answer 1

Hallo,

1. Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

deren Graph die \( x \) -Achse im Ursprung berührt

f(0) = 0 ⇒ d = 0

Berührung im Ursprung bedeutet, dass dort eine doppelte Nullstelle vorliegt und der Graph an dieser Stelle einen Hoch- oder Tiefpunkt hat

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

f'(0) = 0 ⇒ c = 0

Jetzt brauchen wir noch zwei Bedingungen, um a und b zu bestimmen.

und deren Tangente in \( P(-3 \mid 0) \) parallel zu \( y=6 x \) ist.

f (-3) = 0 ⇒ -27a + 9b = 0

parallel bedeutet gleiche Steigung = Ableitung

f'(-3) = 6 ⇒ 27a - 6b = 6

Jetzt musst du nur noch dieses Gleichungssystem lösen.

Gruß, Silvia

Comments

Huhu,

Aber der Graph beschreibt doch eine Funktion dritten Grades? Müsste dann nicht eine dreifache Nullstelle vorliegen in Form eines Sattelpunkts und nicht eine zweifache mit Hoch oder Tiefpunkt?

---

Nein, das muss nicht sein. Löse das Gleichungssystem und du wirst sehen, so passt es.

Answer 2

Text erkannt:

Parabeln mit dem Grad 4 haben 4 Nullstellen.
\( W(0 \mid 0) \) mit \( x \) -Achse als Tangente-> \( m=0 \) bedeutet, dass im Wendepunkt eine Dreifachnullstelle ist.
\( f(x)=a \cdot x^{3} \cdot\left(x-N_{4}\right) \)
Der Tiefpunkt \( T(-1 \mid-2) \) liegt auf dem Graph von \( f(x) \) :
\( f(-1)=a \cdot(-1)^{3} \cdot\left(-1-N_{4}\right) \)
\( a \cdot(-1)^{3} \cdot\left(-1-N_{4}\right)=-2 \)
\( a \cdot\left(-1-N_{4}\right)=2 \rightarrow a=\frac{2}{-1-N_{4}} \)
\( f(x)=\frac{2}{-1-N_{4}} \cdot\left[x^{3} \cdot\left(x-N_{4}\right)\right]=\frac{2}{-1-N_{4}} \cdot\left[x^{4}-N_{4} \cdot x^{3}\right] \)
Die Tangente im Tiefunkt \( T(-1 \mid-2) \) ist waagerecht, hat also die Steigung \( \mathrm{m}=0->f^{\prime}(\mathrm{x})=0 \)
\( f^{\prime}(x)=2 /\left(-1-N_{4}\right) \cdot\left[4 \cdot x^{3}-3 \cdot N_{4} \cdot x^{2}\right] \)
\( f^{\prime}(-1)=\frac{2}{-1-N_{4}} \cdot\left[4 \cdot(-1)^{3}-3 \cdot N_{4} \cdot(-1)^{2}\right] \)
\( \frac{2}{-1-N_{4}} \cdot\left[4 \cdot(-1)^{3}-3 \cdot N_{4} \cdot(-1)^{2}\right]=0 \)
\( N_{4}=-\frac{4}{3} \)
\( a=\frac{2}{-1+\frac{4}{3}}=6 \)
\( f(x)=6 \cdot x^{3} \cdot\left(x+\frac{4}{3}\right) \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Comments

Text erkannt:

\( f^{\prime}(x)=\frac{2}{-1-N_{4}} \cdot\left[4 \cdot x^{3}-3 \cdot N_{4} \cdot x^{2}\right] \)