Verschiedene Potenzen bei e-Funktionen

Question

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ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der es um Abfluss- und Niederschlagsraten geht. Die Rate des Niederschlags (in l / m²  pro Tag t) wird dabei durch $$ r\left( t \right) =25-0,02{ e}^{ t } $$ und die Abflussrate durch $$ a\left( t \right)= 6+50{e}^{ -0,477t} $$ (in l / m²  pro Tag t) beschrieben.
Nun gilt es den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem das Wasser nicht mehr abfließt, also setzte ich die beiden Terme gleich:
$$ r\left( t \right) =a\left( t \right) $$
$$ 25-0,02{ e}^{ t } = 6+50{e}^{ -0,477t} $$
So weit so gut. Meine Frage scheint nun bestimmt trivial und vielleicht stehe ich auch nur total auf dem Schlauch, aber wie löse ich diese Gleichung?

Über alle Antworten wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

25 - 0.02·e^t = 6 + 50·e^{- 0.477·t}

- 1/50·e^t - 50·e^{- 0.477·t} + 19 = 0

e^t + 2500·e^{- 0.477·t} - 950 = 0

Das einfachte ist jetzt z.B. das Newtonverfahren

t_n+1 = t - (e^t + 2500·e^{- 0.477·t} - 950)/(e^t - 1192.5·e^{- 0.477·t})

Nun setzt mal für t rechts eine erste Näherung ein und erhält dann die nächste Näherung. Die setzt man dann wider rechts ein usw.

t0 = 0
t1 = 1.301720520
t2 = 1.925196108
t3 = 2.042061833
t4 = 2.045611724
t5 = 2.045614896
t6 = 2.045614896

Damit hast du dann eine recht gute Näherung. Du könntest auch ein anderes Näherungsverfahren nehmen.
 

Answer 2

hi


wir formen die gleichgesetzten funktionen r(t) = a(t) so um, dass rechts eine
null steht, dann können wir ein verfahren zur bestimmung von nullstellen wie z.b. das
newtonsche näherungsverfahren benutzen.
aus den gleichgesetzten funktionen r(t) = a(t) bekommen wir 0.02e^t + 50e^{-0.477*t} - 19 = 0

der algorithmus zur nullstellenbestimmung ist t_n+1 = t_n - f(t_n) / f'(t_n)
f(t) = 0.02e^t + 50e^{-0.477t} - 19 haben wir schon,
f'(t) = 0.02e^t - 23.85e^{-0.477t} bekommen wir durch berechnen der ersten ableitung.

am graphen können wir erkennen, dass es eine lösung in der nähe von t = 2 gibt.
daher wählen wir zweckmäßigerweise diesen wert startwert für die numerische berechnung.

t₁ = 2
t₂ = 2 - f(2)/f'(2) = 2.045096899
t₃ = 2.045096899 - f(2.045096899) / f'(2.045096899) = 2.045614828
t₄ = 2.045614828 - f(2.045614828) / f'(2.045614828) = 2.045614896

ab hier ändern sich die werte praktisch nicht mehr.
wir wählen z.b. t = 2.0456 als gerundete lösung.


gruß
gorgar