Analysis: e- Funktion Beweis

Question 1

Wir wissen, dass für alle x, y ∈ R das Potenzgesetz e^x+y= e^x· e^y gilt.

Wieso folgt daraus auch für alle a,b > 0 das Logarithmengesetz ln(a · b) = ln(a) +ln(b)?

Tipp: Verwenden Sie, dass die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus sich gegen-
seitig umkehren!

Wie muss ich hier vorgehen?

Question 2

Aloha :)

Wir können die Gültigkeit des Potenzgesetzes voraussetzen$$e^{x+y}=e^x\cdot e^y$$Für $a,b>0$ setze $x=\ln(a)$ und $y=\ln(b)$, dann ist$$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}$$Weil $e$- und $\ln$-Funktion Umkehrfunktionen zueinander sind, gilt: $e^{\ln(a)}=a$ und $e^{\ln b}=b$:$$e^{\ln(a)+\ln(b)}=a\cdot b$$Wir wenden auf beiden Seiten die $\ln$-Funktion an und nutzen links wieder die Umkehreigenschaft aus:$$\ln\left(e^{(\ln(a)+\ln(b))}\right)=\ln(a\cdot b)$$$$\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b)$$

Tschakabumba · Answer 1 · 2020-05-15T13:42:00+0000

Aloha :)

Wir können die Gültigkeit des Potenzgesetzes voraussetzen$$e^{x+y}=e^x\cdot e^y$$Für $a,b>0$ setze $x=\ln(a)$ und $y=\ln(b)$, dann ist$$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a)}\cdot e^{\ln(b)}$$Weil $e$- und $\ln$-Funktion Umkehrfunktionen zueinander sind, gilt: $e^{\ln(a)}=a$ und $e^{\ln b}=b$:$$e^{\ln(a)+\ln(b)}=a\cdot b$$Wir wenden auf beiden Seiten die $\ln$-Funktion an und nutzen links wieder die Umkehreigenschaft aus:$$\ln\left(e^{(\ln(a)+\ln(b))}\right)=\ln(a\cdot b)$$$$\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot b)$$

Analysis: e- Funktion Beweis

1 Antwort

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