Nachweisen, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind

Question

Aufgabe:

Weisen Sie nach, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind:

\( f(x) = (x^3+1)^{\frac{1}{4}} \)

\( g(x) = \sqrt[3]{x^4-1} \)

mit \( x \gt 1 \)

Problem/Ansatz:

Ich bin noch zu keinem Ergebnis gekommen. Ich weiß dass ich f(g(x)) = x ?und/oder? g(f(x)) = x zeigen soll. Nur habe ich keinen Schimmer, wie ich diese Gleichungen nach x umformen soll.

Answer 1

\(f(x) =(x^3+1)^{1/4}\)

\(y =(x^3+1)^{1/4}~~~~~~|()^4\)
\(y^4 =x^3+1~~~~~~|-1\)
\(y^4-1 =x^3~~~~~~|\sqrt[3]{}\)
\(\sqrt[3]{y^4-1} =x~~~~~~|\) Variablen tauschen

\(y=\sqrt[3]{x^4-1} ~~\)

\(g(x) =  \sqrt[3]{x^4-1} \)

mit x>1

bzw. \(f(g(x))=(g(x)^3+1)^{1/4}=(( \sqrt[3]{x^4-1})^3+1)^{1/4}=(x^4-1+1)^{1/4}=(x^4)^{1/4}=x=\text{id}(x)\)

Comments

Wow, vielen Dank!

Ich wusste nicht, dass man eine Bruch Potenz mit hoch dem Nenner weg bekommt^^

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Hallo Käse ;-)

es gilt doch \( (a^b)^c=a^{b\cdot c}\). Und mit \(b=\frac{1}{4}\) und \(c=4\) bekommst du das gewünschte Ergebnis.