Mengenlehre Funktionen Gleichheit

Question

ich sitze gerade an folgendem Beweis, komme aber nicht weiter.

Das soll gezeigt werden:

$$f(A \cap f^{-1}(B)) = f(A) \cap B$$ 

Dabei ist \( f \) eine Abbildung und \( A \subset \) der Definitionsmenge und \(B \subset \) der Zielmenge.

Ich habe schon gezeigt, dass \( f(A\cap f^{-1}(B)) \subset f(A) \cap B \) ist:

Wähle \( y \in f(A \cap f^{-1}(B)) \), so ist \( y\in B\). Da es zu jedem \( y \in f(A \cap f^{-1}(B)) \) ein \(x \in A\) gibt, gilt auch \( y \in f(A)\). So gilt die Aussage.

Zu \( f(A \cap f^{-1}(B)) \supset f(A) \cap B \) habe ich jedoch keinen wirklich guten Ansatz.

Folgende vielleicht halbwegs sinnvolle Rechnung habe ich bereits gemacht:

$$ f(A \cap f^{-1}(B)) \supset f(f^{-1}(f(A)) \cap f^{-1}(B)) \supset f(A) \cap f(f^{-1}(B)) $$

Aber irgendwie komme ich von da aus nicht weiter. Hat vielleicht jemand einen kleinen Tipp für mich?

Danke

Answer 1

Einerseits:$$f(A \cap f^{-1}(B)) \subset f(A) \cap f(f^{-1}(B)) \subset f(A) \cap B$$ Andererseits:

Wenn \(x\in A\) und \(f(x)\in B\), dann ist \(x\in f^{-1}(B)\), also \(x\in A\cap f^{-1}(B)\) und \(f(x)\in f(A\cap f^{-1}(B))\).

Answer 2

Sei y ∈ f(A) ∩ B

Dann ist y ∈ B und es gibt ein x ∈ A mit f(x)=y

Also ist x ∈ f^(-1)(B)  und x∈ A

also x ∈ A ∩  f^(-1)(B)

und weil y = f(x) ist, ist also y ∈ f(  A ∩  f^(-1)(B) ).