Zeigen Sie: Wenn das System unlösbar ist, dann gibt es n + 1 dieser Gleichungen, die bereits keine gemeinsame Lösung …

Question

Aufgabe:

Sei m > n ≥ 1 und sei ein lineares Gleichungssystem von m Gleichungen in n Unbekannten gegeben. Zeigen Sie: Wenn das System unlösbar ist, dann gibt es n + 1 dieser Gleichungen, die bereits keine gemeinsame Lösung haben

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass wenn ein LGS mehr Gleichungen als unbekannte hat und dazu unlösbar ist, es den Grund hat, dass die Unbekannten nicht alle Bedingungen der Gleichung erfüllen kann. Doch wie beweise ich das n + 1 dieser Gleichungen keine gemeinsamen Lösungen haben ohne konkrete Beispiele zu verwenden?

Answer 1

Angenommen es gäbe n+1 Gleichungen, die zu

einem lösbaren System führen.

Dann könntest du diese überführen in das äquivalente System

mit zunächst mal den n Gleichungen

x1 = a1

x2=a2

.....

xn = an

und dann noch eine, die aber durch Kombination mit den anderen dann

zu 0=0 gemacht werden könnte. Ebenso würden alle ggf. noch anderen

vorhandenen Gleichungen zu 0=0 gemacht werden können, also

wäre das gesamte System lösbar. Widerspruch!

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Aber ich verstehe den Widerspruch noch nicht ganz. Man geht also davon aus das es n Gleichungen + die eine zusätzliche gibt. Warum ist 0=0 ein wiederspruch wenn man ja davon ausgegangen ist das es lösbar ist ?

Es tut mir leid das ich mich so schwer tue es zu verstehen.

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Warum ist 0=0 ein Widerspruch, wenn man ja davon ausgegangen ist, dass es lösbar ist ?

Der logische Kern ist:

Das gesamte System ist unlösbar (Das war die Voraussetzung in der Aufgabe.)

und angenommen es gibt n+1 Gleichungen, die ein lösbares System bilden,

(Die Aussage ist ja: Das gibt es nicht,)

dann folgt (s.o.), dass das GANZE SYSTEM lösbar ist.

Also ist die Annahme falsch und damit der Satz bewiesen.

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Hallo,

ich verstehe nicht ganz, warum ich alle Zeilen ab n auf jeden Fall zu 0=0 machen kann.

LG