Für welches k mit 0<= k <= 4 die Fläche unter f über dem intervall [0|4] den kleinsten Inhalt.

Question

Aufgabe:

Durch f mit f(x)=(x-k)^2 sei eine parabelschar gegeben . Für welches k mit 0<= k <= 4  die Fläche unter f über dem intervall [0|4] den kleinsten Inhalt.

Problem/Ansatz: über einen rechenweg würde ich mich sher freuen.

Answer 1

Aus Symmetriegründen ist bei der Wahl von k=0,5 das Integral genau so groß wie mit k=3,5.

Aus Symmetriegründen ist bei der Wahl von k=1 das Integral genau so groß wie mit k=3.

Ich plädiere ohne jegliche Rechnung dafür, dass der Wert bei k=2 minimal wird.

Aber warum rechnest du (x-k)² nicht einfach mit binomischer Formel aus, bildest die Stammfunktion und berechnest das Integral?

Answer 2

Abakus hat das schon richtig erklärt. Hier vielleicht eine mathematische Rechnung

f(x) = (x - k)^2 = x^2 - 2·k·x + k^2

F(x) = 1/3·x^3 - k·x^2 + k^2·x

A(k) = ∫ (0 bis 4) f(x) dx = F(4) - F(0) = F(4) = 1/3·4^3 - k·4^2 + k^2·4 = 4·k^2 - 16·k + 64/3

Da diese Fläche minimal werden soll, muss die Ableitung null werden.

A'(k) = 8·k - 16 = 0 → k = 2

Comments

Ich kamm auf 4 aber ich glaube ich habe mich verrechnet.aber danke ihnen nochmal