Potential eines Vektorfelds

Question

Aufgabe:

Potential berechnen von:

\( \vec{F}(x, y, z)=\left(\begin{array}{l}2 \cdot x \cdot y^{7} \cdot z^{5} \\ 7 \cdot x^{2} \cdot y^{6} \cdot z^{5} \\ 5 \cdot x^{2} \cdot y^{7} \cdot z^{4}\end{array}\right)\)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Integrale berechnet:

y^7z^5x^2 + C

xz^5y^8/4 + C

xy^7z^6/3 + C

Wie bekomme ich jetzt das Potential?

Comments

siehe hier:

Answer 1

Aloha :)

Wir integrieren die x-Koordinate der Feldes \(\vec F\) partiell nach x:$$U(x,y,z)=\int 2xy^7z^5\,dx=x^2y^7z^5+g(y,z)$$Die Integrations"konstante" \(g\) kann von \(y\) und \(z\) abhängen. Wir leiten \(U(x,y,z)\) partiell nach \(y\) ab und vergleichen mit der \(y\)-Koordinate der Feldes \(\vec F\)

$$\frac{\partial U}{\partial y}=7x^2y^6z^5+\frac{\partial g}{\partial y}\stackrel!=\vec F_y=7x^2y^6z^5\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial g}{\partial y}=0$$Einen analogen Vergleich machen wir mit der \(z\)-Koordinate:

$$\frac{\partial U}{\partial z}=5x^2y^7z^4+\frac{\partial g}{\partial z}\stackrel!=\vec F_z=5x^2y^7z^4\quad\Rightarrow\quad\frac{\partial g}{\partial z}=0$$Die Integrations"konstante" \(g(y,z)\) von oben hängt also nicht von \(y\) oder \(z\) ab. Sie ist also ein konstanter Wert. Damit haben wir das Potential gefunden:

$$U(x,y,z)=x^2y^7z^5+\text{const}$$

Achte bitte noch auf das Vorzeichen. In der Physik wird das Potzenital gerne mit einem negativen Vorzeichen definiert, damit anziehende Kräfte negativ sind.

Answer 2

Hallo,

das Potential kann man hier leicht erraten:

φ(x,y,x)=x^2 * y^7 * z^5

Probe durch Ableiten

Den allgemeinen Ansatz über Integration der Teilkompnenten macht man nur, wenn man die Lösung nicht erraten kann.