Kombinatorik und Lottospiel 6-aus-49 Lotterie, Gewinn oder Verlust?

Question

Aufgabe:

Angenommen in einer 6-aus-49 Lotterie wird nur ein Gewinn im Falle von 5 Richtigen ausgeschüttet.

Wenn die Gewinnsumme 10'000 CHF beträgt und ein Ticket 20 CHF kostet würde man wenn man sehr oft spiel erwarten dass man im Mittel einen Gewinn oder einen Verlust macht?

Wählen Sie eine Antwort:
a. Man macht weder Gewinn noch Verlust
b. Lotto spielen lohnt sich immer
c. Man macht einen Gewinn, da der Erwartungswert des Gewinns grösser ist als der Ticketpreis.
d. Man macht einen Gewinn, da der Erwartungswert des Gewinns kleiner ist als der Ticketpreis.
e. Man macht einen Verlust, da der Erwartungswert des Gewinns kleiner ist als der Ticketpreis.

Problem/Ansatz:

Ich habe das so gelöst. Die Chance fünf aus 6 richtig zu haben ist doch: $$\dfrac{\binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1}}{\binom{49}{6}}$$

Und um den Erwartungswert auszurechnen muss man ja: E = P * Gewinnsumme

Stimmt das so oder mache ich einen Denkfehler? Und dann halt die Zahl noch mit der Gewinnsumme multiplizieren und dann vergleichen mit den Antworten.

Answer 1

Hallo,

die Wahrscheinlichkeit beim 6-aus-49-Lotto für fünf Richtige ist:$$ \frac{\left(\begin{array}{c}6 \\ 5\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)}$$ Der Erwartungswert ist folglich:$$E= \frac{\left(\begin{array}{c}6 \\ 5\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)} \cdot 10000\approx 0.1845$$ Die mittlere Auszahlung beträgt also \(0.18\) CHF und ein Ticket kostet 20 CHF.

Comments

Ich danke dir für die ausführliche Erklärung. Haha, da wollte uns wohl unser Professor verarschen. Er sagte, dass ihr erstaut sein werdet, wie leicht solche Texte euch verwirren können und so Lotterien.

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Könntest du mir eventuell noch näheres zur von 1 aus 43 erklären? Ich habe es so gemacht, weil ich das bei einer anderen Aufgabe so gesehen hatte, aber ich erkläre mal, was ich unter dem ganzen Ausdruck verstehe.

Man möchte 5 6er bekommen, deshalb berechnet man 5 aus 6.

Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus Anzahl der günstigen Fälle : Anzahl der möglichen Fälle. Also 6 aus 49 sind die möglichen Kombinationen. Das ist mir auch klar.

Aber was hat es mit dieser 1 aus 43 aufsich?

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die Antwort ist noch nicht ganz fertig. Die Frage lautet:

Wenn die Gewinnsumme 10'000 CHF beträgt und ein Ticket 20 CHF kostet würde man wenn man sehr oft spiel erwarten dass man im Mittel einen Gewinn oder einen Verlust macht?

Wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass man nach 10000/20=500 Spielen noch nie gewonnen hat?

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Aber was hat es mit dieser 1 aus 43 aufsich?

Du ziehst zunächst fünf von 6 richtigen und eine von den (49-6)=43 verbleibenden.

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Ahh, verstehe. Danke. Und ist die Frage damit noch nicht beantwortet?

Die Wahrscheinlichkeit berechnet man mit günstigen / mögliche.

Um bei einem Spiel zu gewinnen haben wir die Wahrscheinlichkeit berechnet. Und jetzt müssen wir das durch 500 teilen oder, damit wir wissen, was die Wahrscheinlichkeit ist, oder?

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Ich weiß nicht genau, ob ich zu viel in die Aufagbe interpretiere, aber unterstellt der Fragetext nicht -- und damit lockt ja auch die Lotto-Industrie --, dass man einfach bei einem Verlust noch mal spielt. Denn wenn man einmal verliert, kann es ja beim nächsten Mal klappen und man hat insgesamt 40 CHF ausgegeben, dafür aber 10.000 CHF gewonnen.

Bei 500 Spielen wäre allerdings genau der Gewinn bereits als Einsatz draufgegangen (500*20=10000), so dass man sich nicht mehr über einen Gewinn freuen kann.

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Also meine Meinung wäre, dass wir einfach herausfinden mussten, ob es sich lohnt oder nicht. Und in unserem Fall macht man einen Verlust und es lohnt sich nicht.

e. Man macht einen Verlust, da der Erwartungswert des Gewinns kleiner ist als der Ticketpreis. Das wäre meine Lösung. Stimmst du dem zu?

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Die Antwort (e) wird schon stimmen, die Begründung mag allerdings unzureichend sein.

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Schlussendlich müssen wir einfach eines dieser Antworten ankreuzen. Wir gehen da nicht tiefer hinein. Leider ist das bei uns so.