Begriff Ereignis frage

Question

Frage:

Also hier ein Beispiel von unserem Unterricht:

Thema: Augensumme beim Würfeln mit 2 Würfeln

Ω={(11)(12)(13)...(64)(65)(66)} 

E={2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} und E ist die Augensumme.

Meine Frage ist wie ist dann das Ereignis definiert? Ich lese überall, dass das Ereignis eine Teilmenge von Ω ist, aber das ist nicht der Fall, wenn man es so aufschreibt oder? Wir schreiben bald einen Test über die Grundbegriffe der Stochastik und ich bin mir unsicher wie ich das Ereignis als Begriff dann erklären soll.

Answer 1

Meine Frage ist wie ist dann das Ereignis definiert?

Du kannst natürlich die Ergebnismenge Omega mit den Augensummen aufstellen

Ω = {2, 3, 4, ..., 12}

Dann ist das Ereignis E eine Augensumme größer als 10 zu erzielen einfach

E = {11, 12}

Wenn du alle Wurfmöglichkeiten in der Menge Omega zusammenfasst.

Ω = {(11)(12)(13)...(64)(65)(66)}

dann würdest du das Ereignis Ewie folgt notieren

E = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}

Comments

Unser Lehrer hat halt Ω={(11)(12)...(65)(66) gemacht und den Ereignisraum dann E={2;3...;11;12} ist das denn technisch falsch? Oder geht das irgendwie, weil (11)=>2 (12)und(21)=>3 keine Ahnung irgendwie mit einer Zufallsvariable oder so.

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Das geht auch das man einen Ereignisraum definiert. Dann gehört zu jedem Ereignis aber eine Menge von Ergebnissen. Hat unser Prof. aber nie so gemacht oder ich erinnere mich da nicht mehr genau dran.

Du willst dann jedes Ereignis als Teilmenge des Ereignisraums schreiben.

Answer 2

Hallo JeffHendrix!

Um es nochmal klar herauszustellen:

Wenn die Grundmenge $$\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,4),(6,5),(6,6)\}$$ gewählt ist, ist $$E=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$$ KEIN Ereignis bezüglich \(\Omega\), da \(E\) keine Teilmenge von \(\Omega\) ist.

Wir können eine Zufallsvariable \(X\) definieren, die jedem Element von \(\Omega\) die zugehörige Augensumme zuordnet, etwa $$X((6,5))=6+5=11$$ bzw. allgemein $$X((i,j))=i+j\;$$ für alle \(i,j=1,2,3,4,5,6\).

Dann ist \(E\) die Menge der Werte, die \(X\).annimmt.

, Tobias

Comments

Wie kann ich dann das sichere Ereignis definieren? Weil damit ein Ereignis sicher ist muss nicht immer E=Ω sein damit P(E)=1, da ja auch E einfach alle Funktionswerte der Funktion X für Omega sein kann.

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Das sichere Ereignis zu einer Grundmenge \(\Omega\) ist üblicherweise definiert als das Ereignis \(\Omega\) selbst (was also IMMER eintritt, wenn man das beschriebene Zufallsexperiment durchführt).

Ereignisse \(E\) mit \(P(E)=1\) (d.h. Ereignisse, die mit Wahrscheinlichkeit 1 eintreten) kenne ich unter dem Namen FAST sichere Ereignisse. Für fast sichere Ereignisse \(E\) muss in der Tat nicht \(E=\Omega\) gelten, d.h. fast sichere Ereignisse müssen nicht das sichere Ereignis sein. Das sichere Ereignis \(E=\Omega\) ist aber umgekehrt stets fast sicher, d.h. es gilt \(P(\Omega)=1\)..

Zurück zum Beispiel \(\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),\ldots,(6,4),(6,5),(6,6)\}\) und \(E=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) und \(X((i,j))=i+j\;\) (also steht \(X\) für die Augensumme): Wir können z.B. das Ereignis \(A\) betrachten, dass die Augensumme in \(E\) liegt, d.h. formal ist \(A\) die Menge aller Ergebnisse \((i,j)\) aus der Grundmenge \(\Omega\), für die \(X((i,j))\) ein Element von \(E\) ist. Dann ist \(A\) nichts anderes als das sichere Ereignis, also \(A=\Omega\), denn für ALLE Ergebnisse \((i,j)\) aus der Grundmenge \(\Omega\) ist \(X((i,j))\) ein Element von \(E\) und damit \((i,j)\) ein Element von \(A\).

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“Für fast sichere Ereignisse E muss in der Tat nicht E=Ω gelten” Wie ist das gemeint? Gilt denn, wenn E={2,3,...,12} dann P(E)=1? Oder muss ich dafür das A anschauen?

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“Für fast sichere Ereignisse E muss in der Tat nicht E=Ω gelten” Wie ist das gemeint?

Nehmen wir an, wir wollen meinen Lottogewinn/-verlust der nächsten Woche modellieren. Der Einfachheit halber sei nur maximal ein Loskauf möglich, ein Los koste 1€ und zu gewinnen gebe es nur den Hauptpreis von 1 Million Euro. Dann könnten wir \(\Omega=\{-1,\;0,\;999999\}\) modellieren. Da ich kein Lotto spielen werde, können wir \(P(\{-1\})=0\), \(P(\{0\})=1\) und \(P(\{999999\})=0\) annehmen. In diesem Modell ist das Ereignis \(E=\{0\}\), dass ich weder Gewinn noch Verlust mache, ein fast sicheres Ereignis, ohne dass \(E=\Omega\) gilt.

"Gilt denn, wenn E={2,3,...,12} dann P(E)=1? Oder muss ich dafür das A anschauen?"

Genau genommen ist hier \(P(E)\) üblicherweise keine zulässige Schreibweise, weil \(E\) kein Ereignis ist. Wir können aber z.B. \(P(X\in E)=1\) schreiben. \(P(X\in E)\) ist dabei eine abkürzende Schreibweise für \(P(A)\), wobei A das Ereignis definiert wie im vorherigen Kommentar von mir bezeichne.

Alternative: Wir wählen anstelle des von dir gewählten \(\Omega\) die Grundmenge \(\Omega=\{2,3,\ldots,12\}\). Dann gilt \(E=\Omega\) und damit \(P(E)=P(\Omega)=1\).