1. Wie beschreibe ich die Gleichheit von Brüchen durch eine Relation ∼ auf Z×Z\{0} ?
Wenn a/b = c/d ist, dann liefert die Multiplikation mit dem Hauptnenner a*d = c*b. Das ist die
Bedingung, also ist die Gleichheitsrelation ~ = { ( a;b),(c;d) ) | a*d = c*b } denn die Paare (a;b) und (c;d) repräsentieren ja die Brüche und gleich sind die eben bei a*d = c*b.
2. Wie zeige ich, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Zeige die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv. z.B. reflexiv so:
zu zeigen: Alle Elemente stehen mit sich selbst in dieser Relation. Wenn also ein Paar, dessen
Komponenten zweimal das gleiche Paar ist, gebildet wird ( (a;b),(a,b) ) , dann gehört es zur
Relation. Dem ist so, weil die Bedingung von oben a*d = c*b ja jetzt a*b = a*b heißt, und das
ist erfüllt.
Versuche ähnlich die anderen Eigenschaften.
3. Die Äquivalenzrelation partitioniert die Menge Z x Z \{0} in Äquivalenzklassen. Wie finde ich eine Möglichkeit, jede Klasse eindeutig zu kennzeichnen.
Auch hier kannst du dich von deiner Kenntnis der Brüche leiten lassen. Wenn man verschiedene Darstellungen eines Bruches hat , etwa 6/9 und 8/12 dann kann man diese ja durch Kürzen
auf eine Form bringen, bei der Zähler und Nenner teilerfremd sind und um es zu vereinheitlichen kann man ein eventuell vorhandenes Minuszeichen immer zum Zähler schlagen. Die eindeutige Kennzeichnung wäre also: Man nehme aus der Klasse ein Paar (a;b) mit ggT(a,b) = 1 und b>0.
. Definiert die komponentenweise Addition auf Z×Z\{0} eine binäre Operation, die der Addition von Brüchen entspricht? Nein, denn wenn man etwa (2;3) + (5;3) = (7;6) definieren würde,
dann hieße das ja 2/3 + 5/3 = 7/6 was nicht der Addition von Brüchen entspricht. Wenn man es
"richtig" definieren will muss man festlegen (a;b) + (c;d) = ( a*d+c*b ; b*d ) .
