Ordnen Sie den jeweiligen Äquivalenzklassen ihre Elemente zu.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Menge M={1,2,3,4,5}.

Es sei R={(1,2);(5,2)}⊂M×M eine Relation auf M. Ordnen Sie möglichst wenige Elemente aus M×M zu R , sodass aus R eine Äquivalenzrelation wird. (D.h. finden Sie die bzgl. Mengeninklusion kleinste Menge S, sodass R⊂S und S ist eine Äquivalenzrelation. Ordnen Sie die Elemente unten zu der Menge S .)

Ordnen Sie den jeweiligen Äquivlenzklassen ihre Elemente zu.

S={(1,2);(5,2);....}

1={....}  (1 mit Strich drüber)

3={....}  (hier auch eigentlich 3 mit strich drüber) 

(2,5), (2,4), (2,1), (4,4), (3,1), (3,4), (1,5),

5, 3, 4, (1,3), (2,2), (3,3), (5,5), 1, (1,1), 2, (4,3), (5,1), (4,2)

Problem/Ansatz:

Hi, ich versteh nicht ganz, wie ich diese Aufgabe lösen kann, also woher ich weiß, welche Elemente wichtig bzw unwichtig sind und wie ich generell die Elemente der Mengen, also von S, 1 und 3 finde.

Vielleicht könnt ihr mir hier ja weiterhelfen, danke schonmal :)

Answer 1

Wegen der Reflexivität brauchst du alle vom Typ(x,x), also

(1;1) , (2;2) ,(3;3) , (4,4) , (5;5)

außerdem sollen ja (1,2), (5,2) dabei sein , also

wegen der Symmetrie auch (2;1) und (2;5) .

Damit es auch transitiv ist, muss wegen (1;2) und (2;5) auch (1;5)

dabei sein und dann ant. auch (5;1).

Also S = { (1;1) , (2;2) ,(3;3) , (4,4) , (5;5)
                (1,2), (5,2) ,(2;1) , (2;5) ,(1;5) , (5;1) }

1 (mit Strich drüber ist die Äquivalenzklasse von 1, also

alle, die mit der 1 in der Relation stehen, also {1,2,5}. etc.