Beschreibe alle stetigen Funktionen f : ℝ→ ℝ mit f(ℝ) ⊂ ℤ.

Question

Aufgabe:

Beschreibe alle stetigen Funktionen f : ℝ→ ℝ mit f(ℝ) ⊂ ℤ.

Answer 1

Hallo

zeige, dass nur f(x)=c,  c ∈ R  möglich ist.

Gruß lul

Comments

Hey Lul

kannst du deinen Kommentar noch etwas ausführen?

Mir ist klar, dass f(x)∈ℝ gelten muss, da sonst nicht jedes Element des Urbildes abgebildet werden würde.

Weshalb beschreibt dies jedoch alle Abbildungen wofür gilt f(x)⊂ℤ?

Meine Annahme ist, dass dies eine Aussage ist, welche für jede Abb.

f:ℝ->ℝ gilt (somit auch für jede Abb. mit f(x)⊂ℤ) und wir keine weitere Aussagen treffen können, welche alle diese Abbildungen beschreiben?

Gruss LLuethi

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Hallo

f(x) muss ja eine ganze Zahl sein aber f auch stetig. wenn f(x1)=z1 und f(x2)=z2 dann ist der Unterschied falls z1≠z2 mindestens 1  jetzt mach einen Widerspruch zur Stetigkeit, in meinem vorigen post muss natürlich c ∈Z nicht in R sein,

lul

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Seien f(x₁)=z1 und f(x₂)=z2, dann sind z1,z2∈ℤ und |z1-z2|≥1 solange z1≠z2.

Weiter soll f stetig sein. Daraus folgt, dass für alle ε>0 existiert ein δ>0.

Für alle x₁ muss ein x₂∈ℝ existieren, wofür gilt: |x₁-x₂|<δ => |f(x₁)-f(x₂)|<ε.

Fall1: z1≠z2.

|z1-z2|≥1 und damit nicht <ε∈ℝ_>0. Widerspruch f nicht stetig.

Fall2: z1=z2

|f(x₁)-f(x₂)|=|z1-z2|<ε

Für alle x∈ℝ gilt f(x)=z1=z2 <ε.

Das heisst z1=z2=z3=...=zn beschreibt alle stetigen Funktionen f:ℝ->ℝ mit f(ℝ)⊂ℤ. (-> Was soviel heisst wie: die funktion muss horizontal verlaufen z.B. die Nullfunktion).

Stimmt dass so?

Vielen Dank für die schnelle Antwort,

LLuethi

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Hallo

es fehlt ja dass es ein solches |x₁-x₂|<δ geben muss  für den |f(x1)-f(x2)|>=1 ist.

es muss falls  f≠const  solche x1,x2 geben und du kannst etwa sagen ε=1/2 kann dann nicht erreicht werden

Das heisst z1=z2=z3=...=zn beschreibt alle stetigen  Funktionen , ist schlecht ausgedrückt f(x)=const=z_i mit z_i aus Z beschreibt....

Gruß ledum

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Super, vielen Dank.

Gruss LLuethi