Finde alle stetigen Funktionen f: ℝ → ℝ mit f(ℝ) \subset \mathbb{Q} .

Question

Text erkannt:

Finde alle stetigen Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(\mathbb{R}) \subset \mathbb{Q} \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

kann sein, dass ich die Aufgabe komplett falsch verstanden habe. So wie ich das interpretiert habe, sollte f eine stetige Funktion sein wobei f(x) bzw. alle Funktionswerte rational sind. So würde ich sagen, dass es keine solche Funktion geben kann, da es in jeder Epsilonumgebung unendlich viele x-Werte mit irrationalen Funktionswerte geben kann und wenn f(x) nur rational ist, springt die Funktion und ist nicht mehr stetig. Aber wie gesagt uch denke ich. habe es komplett falsch interpretiert.

Answer 1

Idee war schon OK. Allerdings sind die konstanten Funktionen

mit einer Konstanten aus ℚ ja auch stetig. Die tun es also.

Hat allerdings eine Funktion mehr als nur einen Funktionswert,

also etwa die beiden rationalen Werte a und b mit

f(x)=a und f(y)=b dann gibt es ja zwischen a und b auch

eine irrationale Zahl c, und wenn f stetig ist, gibt es nach dem

Zwischenwertsatz eine Zahl z zwischen x und y mit f(z)=c,

also hätte f auch einen irrationalen Funktionswert.