Aloha :)
Wir überlegen uns zuerst, wie der Gradient einer Funktion \(f(r)\) lautet, die nur vom Betrag \(r\) des Vektors \(\vec r\) abhängt. Die \(i\)-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{x_i }{r}$$Da \(f(r)\) nur von \(r\) abhängt, können wir beim Zusammenbau des Gradienten auch \(f'(r)\) anstatt \(\frac{\partial f}{\partial r}\) schreiben:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=f'(r)\,\frac{1}{r}\,\vec r$$$$\boxed{\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\vec r^0}$$Diese Formel ist ist so nützlich, dass ich ihr sogar einen Rahmen spendiert habe. Mit dieser Formel kannst du nun den Gradienten des angegebenen \(V(r)\) ausrechnen.
Selbst wenn \(V(r)\) nicht angegeben wäre, könntest du mit dieser Formel das Potential sofort selbst herleiten:$$\vec F=-G\,\frac{mM}{r^3}\cdot\vec r=\underbrace{-G\,\frac{mM}{r^2}}_{=f'(r)}\cdot\vec r^0=\operatorname{grad}\left(G\,\frac{mM}{r}\right)=-\vec \nabla\left(-G\,\frac{mM}{r}\right)$$$$\varphi(r)=-G\,\frac{mM}{r}$$
