Aloha :)
Schau dir mal bitte die folgende Abbildung an:
~plot~ 1*(x>0)*(x<5) ; 2*(x>0)*(x<4) ; 3*(x>0)*(x<3) ; 4*(x>0)*(x<2) ; 5*(x>0)*(x<1) ; 5*(x>0)*(x<5) ; -x+5 ; [[0|7|0|5]] ~plot~
In der unteren Reihe sind 5 "Quadrate", in der Reihe darüber sind 4 "Quadrate", dadrüber sind 3 "Quadrate", dann kommen 2 "Quadrate" und ganz oben ist nur noch 1 "Quadrat". Wir wollen wissen, welche Fläche alle kleinen "Quadrate" überdecken. Dazu habe ich die Diagonale eingezeichnet. Wir erkennen unterhalb der Diagonalen die Fläche des halben großen Quadrates, also \(\frac{5^2}{2}\). Oberhalb der Diagonalen kommt nochmal die Fläche von 5 halben kleinen "Quadraten" hinzu. Also haben wir folgende Formel gefunden:$$1+2+3+4+5=\frac{5^2}{2}+\frac{5}{2}$$Mit demselben Bild ist sofort klar:$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$Damit kannst du den Grenzwert schnell berechnen:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}(1+2+3+\cdots+n)\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}$$
