Grenzwert bestimmen ! mit Lösungsweg!

Question

Aufgabe:

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+\ldots+n}{n^{2}}$

Problem/Ansatz:

könnte mir bitte jemand sagen, wie diese Aufgabe bestimmen soll. Ich habe es mehrere Möglichkeiten und ich bekomme immer 0, und ich habe es bei einem Rechner gerechnet und er hat mehr gezeigt, dass den Antwort 1/2 ist!?

Answer 1

Aloha :)

Schau dir mal bitte die folgende Abbildung an:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1·(x>0)·(x<5)f₂(x) = 2·(x>0)·(x<4)f₃(x) = 3·(x>0)·(x<3)f₄(x) = 4·(x>0)·(x<2)f₅(x) = 5·(x>0)·(x<1)f₆(x) = 5·(x>0)·(x<5)f₇(x) = -x+5Zoom: x(0…7) y(0…5)

In der unteren Reihe sind 5 "Quadrate", in der Reihe darüber sind 4 "Quadrate", dadrüber sind 3 "Quadrate", dann kommen 2 "Quadrate" und ganz oben ist nur noch 1 "Quadrat". Wir wollen wissen, welche Fläche alle kleinen "Quadrate" überdecken. Dazu habe ich die Diagonale eingezeichnet. Wir erkennen unterhalb der Diagonalen die Fläche des halben großen Quadrates, also $\frac{5^2}{2}$. Oberhalb der Diagonalen kommt nochmal die Fläche von 5 halben kleinen "Quadraten" hinzu. Also haben wir folgende Formel gefunden:$$1+2+3+4+5=\frac{5^2}{2}+\frac{5}{2}$$Mit demselben Bild ist sofort klar:$$1+2+3+\cdots+n=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$Damit kannst du den Grenzwert schnell berechnen:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}(1+2+3+\cdots+n)\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}$$

Answer 2

Verwende für 1+2+3+...+n die Gaußsche Summenformel.