Aussage widerlegen: inj.sur./

Question

Aufgabe:

Widerlegen Sie die falschen Aussage durch ein Gegenbeispiel

Ist h (Komposition g f) nicht surjektiv, so gilt: f ist surjektiv und g ist nicht surjektiv.

Problem:

Ich hätte gerne gewusst, was ich hier überhaupt zeigen muss, damit das als Gegenbeispiel gilt. Habe ich einfach nur ein Beispiel zu zeigen, indem h nicht surjektiv ist, aber f nicht surjektiv und g surjektiv?

Answer 1

Habe ich einfach nur ein Beispiel zu zeigen, indem h nicht surjektiv ist, aber f nicht surjektiv und g surjektiv?

so ungefähr du brauchst ein Beispiel mit

h nicht surjektiv ist, aber f nicht surjektiv ODER g surjektiv ; denn die Negation von

f ist surjektiv und g ist nicht surjektiv

ist    f nicht surjektiv ODER g surjektiv.

Das könnte z.B. so aussehen

f: A→ A und  g: A→ A  mit A = {1;2}

g(1)=1 und g(2)=1 also g nicht surjektiv.

und f(1)=1 und f(2)=2  also f surjektiv.

Damit ist ist die Aussage

f nicht surjektiv ODER g surjektiv.

wahr . Und bei der Verkettung gibt es nur

h(1)= f(g(1)) = f(1) = 1

und h(2) = f( g(2)) = f(1)= 1

also kommt 2 als Bild bei h nicht vor und

somit ist h nicht surjektiv.