Term unter eine Wurzel bringen: u/2 · ⁴√16u

Question

Aufgabe:

Man soll diese Rechnung unter eine Wurzel bringen. Wie geht das?

\( \frac{u}{2} · \sqrt[4]{16u} = \)

Answer 1

$$\begin{aligned}\frac{u}{2}\cdot \sqrt[4]{16u}&=\frac{u}{2}\cdot \textcolor{green}{\sqrt[4]{16}}\cdot \sqrt[4]{u}&&\Big\lvert\; 16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4\\&=\frac{u}{2}\cdot \textcolor{green}{\sqrt[4]{2^4}}\cdot\sqrt[4]{u}&&\Big\lvert\; \text{Wurzelgesetz: } \sqrt[\textcolor{red}{4}]{x^{\textcolor{blue}{2}}}=x^{\textcolor{blue}{2}/\textcolor{red}{4}} \text{, also }\sqrt[\textcolor{red}{4}]{2^{\textcolor{blue}{4}}}=2^{\textcolor{blue}{4}/\textcolor{red}{4}}=2^1=2\\&=\frac{u}{2}\cdot \textcolor{green}{2}\cdot\textcolor{orange}{\sqrt[4]{u}}&&\Big\lvert\; \sqrt[4]{u^1}=u^{1/4}\text{, siehe oben}\\&=\frac{u}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}\cdot \textcolor{orange}{u^{1/4}}&&\Big\lvert\; \text{Kürzen der }2\\&=\textcolor{green}{u}\cdot u^{1/4}&&\lvert\;u=u^1\\&=\textcolor{green}{u^1}\cdot u^{1/4}&&\lvert \; \text{Potenzgesetz: } a^x\cdot a^y= a^{x+y}\\&=\textcolor{orange}{u^{1+1/4}}&&\lvert \; 1=1/1\text{ erweitern mit} {}\cdot 4\\&=u^{\textcolor{green}{4/4}+1/4}\\&=u^{\textcolor{green}{5/4}}=\sqrt[4]{u^5}\end{aligned}$$ Oder in kurz: $$\frac{u}{2}\cdot \sqrt[4]{16u}=\sqrt[4]{\left(\frac{u}{2}\right)^{\!4}16u}=\sqrt[4]{\frac{u^4}{\cancel{16}}\cancel{16}u}=\sqrt[4]{u^4\cdot u}=\sqrt[4]{u^5}$$

Comments

Bis jetzt ist noch nicht einmal abschließend geklärt, ob das Wurzelzeichen nur über die 16 oder über das komplette 16u gehen soll.

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Ja, der FS meldet sich auch irgendwie nicht...

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Wir können auch nicht sicher annehmen, dass u≥0.

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Wenn (EDIT) der ganze Ausdruck aus \(\mathbb{R}\) ist, dann muss \(u>0\) sein, für \(\left(u/2\sqrt[4]{16u}\right)\in\mathbb{C}\) kann \(u<0\) sein.

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$$u ∈ ℝ ; u <0 →$$

$$u/2 *\sqrt[4]{16u}   ∈ ℂ$$

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Sry, ich meinte wenn der ganze Ausdruck aus R ist, dann muss \(u>0\) sein.

Answer 2

Hallo,

naja hoffentlich richtig gelesen

u/2 *\( \sqrt[4]{16u} \)  

u ¹* 2^-1 \( \sqrt[4]{16u} \)

u¹ * 2^-1 16 ^1/4 * u^1/4                               16= 2⁴        2^{4 *1/4} = 2¹

u^1+1/4  2 ^-1+1

⁴√(u⁵)

Answer 3

Gut, dann noch eine alternative Antwort von mir.

$$u≥0$$$$u/2 * \sqrt[4]{16u} =$$$$\sqrt[4]{u^4/16}* \sqrt[4]{16u}=\sqrt[4]{u^5}$$

$$u<0$$$$u/2 * \sqrt[4]{16u} =-\sqrt[4]{u^5}$$ keine Lösung in ℝ, aber in ℂ