Berechne die mittlere Höhenänderungsrate für die horizontalen Wegintervalle [0;50] und [150;200].

Question

Aufgabe:

Berechne die mittlere Höhenänderungsrate für die horizontalen Wegintervalle [0;50] und [150;200].

Problem/Ansatz:

Meine Funktion ist h(x)= 0,0002*x^2-0,1*x+12

Wie rechne ich die mittlere Änderungsrate mit den oben angegebenen Wegintervallen aus?

Answer 1

Aloha :)

Die Änderung an der Stelle \(x\) ist durch die Ableitung \(h'(x)\) gegeben. Die mittlere Änderungsrate erhalten wir durch Integration über die Änderungsrate und Normierung durch die Intervalllänge:

$$m_1=\frac{1}{50-0}\int\limits_0^{50} h'(x)\,dx=\frac{1}{50}\left(h(50)-h(0)\right)=\frac{1}{50}\left(7,5-12\right)=-0,09$$$$m_2=\frac{1}{200-150}\int\limits_{150}^{200}h'(x)\,dx=\frac{1}{50}\left(h(200)-h(150)\right)=\frac{1}{50}\left(0-1,5\right)=-0,03$$

Comments

Dankeschön :)

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Hallo Tschaka,
du hast etwas umständlicher gerechnet
als ich : zunächst die erste Ableitung bilden,
dann wieder die Stammfunktion bilden
( wobei hier ja die ursprüngliche Funktion
wieder herauskommt )
und das Integral zwischen Ende und Anfang
bilden. Später noch durch die Intervalllänge
teilen.

Ich habe dasselbe heraus ohne Ableitung und
Stammfunktion bilden.

Ich kann mir auch vorstellen das dies bei
manchen Funktion nicht funktioniert.
z.B. der Graph eines Berges durch
Höhenmeter definiert.
Höhe Fußpunkt links 1234 m
Höhe Fußpunkt rechts 1234 m
Die durchschnittliche ( mittlere ) Höhe
würde als arthmetisches Mittel
falsch berechnet werden.

Wer auf Nummer sicher gehen also
mit Integralrechnung berechnen ?

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Halllo Georg ;)

Ich habe absichtlich die Integralrechnung verwendet, um zu zeigen, wie man das ganz allgemein macht. Wenn die Funktion sich in dem untersuchten Intervall nur nach unten oder nur nach oben bewegt, also monoton ist, kann man mit deiner Methode "abkürzen". Wenn die Funktion aber nicht monoton ist, z.B. Minima oder Maxima hat, kommt man um das Integral nicht herum.

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Danke. Fülltext.

Answer 2

h(x)= 0,0002*x^2 - 0,1*x + 12

Höhenänderung zwischen 0 und 50
Δ h / Δ s

h(50) - h (0)
7.5 - 12 = -4.5

auf der Strecke 50 ( Steigung / Höhenänderungsrate )
-4.5 / ( 50 - 0 ) = -0.3

Comments

-4.5 / ( 50 - 0 ) = -0.3

 -4.5 / ( 50 - 0 ) = -0.09

Der Rechenweg funktioniert im Übrigen nur, weil die Funktion im gegebenen Intervall monoton ist.

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Korrektur
Nicht
-4.5 / ( 50 - 0 ) = -0.3
sondern
-4.5 / ( 50 - 0 ) = -0.09