Wie viele Tupel kann es geben?

Question

Sei \( n \in \mathbb{N} \) eine natürliche Zahl.
a) Wie viele Tupel (Paare) \( \left(k_{1}, k_{2}\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) gibt es, sodass \( k_{1}+k_{2}=n \) gilt? Hinweis: Berechnen Sie diese Anzahl explizit für kleine \( n \) und beweisen Sie Ihre Vermutung induktiv.
b) Wie viele Tripel \( \left(k_{1}, k_{2}, k_{3}\right) \) gibt es, sodass \( k_{1}+k_{2}+k_{3}=n ? \) Hinweis: Verwenden Sie Teil
a) und beantworten Sie zunächst folgende Frage: Sei \( k \leq n \) eine natürliche Zahl. Wie viele Möglichkeiten gibt es, \( n-k \) Elemente in zwei Gruppen zu teilen?

Für a habe ich das es n+1 Tupel geben kann, weiß aber nicht wie ich das beweise. Also ich würde sagen mit Induktion, aber ich weiß halt nicht wie ich das in dem Fall mache

Bei b weiß ich nicht wirklich was ich machen soll. Also vorallem das mir den Gruppen verstehe ich nicht.

Comments

Für a habe ich, dass es n+1 Tupel geben kann.

Ist 0 eine natürliche Zahl?

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Vom Duplikat:

Titel: Wie viele Tupel (Paare) (k1, k2 ) gibt es, sodass k1+k2=n gilt?

Stichworte: beweise,tupel,vollständige-induktion

Aufgabe:

Wie viele Tupel (Paare) \( \left(k_{1}, k_{2}\right) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) gibt es, sodass \( k_{1}+k_{2}=n \) gilt? Hinweis: Berechnen Sie diese Anzahl explizit für kleine \( n \) und beweisen Sie Ihre Vermutung induktiv.

Problem/Ansatz:

es gibt n+1 Tupeln.

ich kann \( k_{1}+k_{2}=n \) umformen zu = \(k_{2}=n - k_{1}\), nur weiß ich nicht wie ich das induktiv beweisen soll.

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Duplikat, siehe: https://www.mathelounge.de/768842/wie-viele-tupel-kann-es-geben

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https://www.mathelounge.de/769682/zeigen-sie-dass-fur-alle-n-die-folgende-formel-gilt

@Doesbaddel. Wenn du den Link zum Original angibst, kann ich die Fragen zusammenfügen.

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Ich finde ihn leider nicht mehr. Muss schon eine Weile hergewesen sein, wo das jemand gepostet hatte.

Answer 1

a) Zählt ihr die 0 mit zu den natürlichen Zahlen?

Also vermuten wir n + 1 Tupel für n. Sollte die Null nicht mitgezählt werden dann entsprechend nur n - 1 Tupel.

0 + 0

0 + 1 = 1 + 0

0 + 2 = 1 + 1 = 2 + 0

0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0

0 + 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 + 0

0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0

Du siehst das die Nächste Reihe immer aus den Tupeln der vorangehenden Reihe bestehen, wobei wir zum zweiten wert immer 1 addieren. Dann hat man ein zusätzliches Tupel, der als zweites wieder eine Null trägt.

Comments

Ja, das hatte ich ja auch schon raus. Ich weiß nur nicht wie ich das beweisen soll und vorallem was ich bei b machen soll.

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Von mir aus beweise die Formel durch vollständige Induktion.

Aber die Möglichkeiten sind dadurch vorgegeben welche Werte der erste Summand annehmen kann. Da der zweite Summand ja vorgegeben ist durch

k1 + k2 = n → k2 = n - k1

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aber wie kann man das denn mit induktion beweisen?