Bestimme eine Orthonormalbasis von R^nxn

Question

Aufgabe:

〈·,·〉:ℝ^(n×n)×ℝ^(n×n)→ℝ, (A,B)↦Spur(A^tB).

Ich soll zeigen, dass die Matrizen E_ij bezüglich des obigen Skalarprodukts eine Orthonormalbasis von R^(n×n) bilden.

Problem/Ansatz:

Ich kenne das Gramm-Schmidt Verfahren zum bilden einer Orthonormalbasis und kann es anwenden, allerdings weiß ich hier nicht was meine Vektoren sind. Normalerweise bilden wir immer eine ONB mit Vektoren und wenden auf diesen das Verfahren an. Allerdings benutzt das Skalarprodukt auch keine Vektoren sondern Matrizen, sodass ich jetzt vollkommen ratlos bin. Hat jemand einen Ansatz mit dem ich starten kann?

Answer 1

Hallo

du sollst ja keine Orthonormalbasis herstellen , sondern nachweisen, dass das   beschriebene Skalarprodukt  1 ist bei 2 verschiedenen der  E_ij und gleich 1 bei 2 gleichen,

Gruß lul

Comments

Hi,

danke, dass hat mir schonmal geholfen. Eine Frage noch. Woher weiß ich, dass da 1 rauskommen soll?

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Hallo

was bedeutet denn bei euch orthonormal? ortho kommt von orthogonal , normal kommt von normiert, bei normalen Vektoren weisst du doch auch, dass orthonormale Vektoren  Einheitsvektoren sind?

lul

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aber wenn ich das am Beispiel von R^(2x2) machen würde, dann wurde ich zum Beispiel die Matrizen \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) bekommen. wenn ich diese in das Skalarprodukt einsetzte komme ich auf Null und nicht auf Eins beim Ergebnis.

viele Grüße und

Jessi

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das sind ja auch zwei verschiedene Basismatrizen E₁₁ und E₁₂ also muss ihr Skalarprodukt 0 ergeben! aber das Skalarprodukt der 2 gleichen gibt 1

genau wie in R^2 (1,0) und (0,1) mit dem Standardskalarprodukt.

lul