Lösen folgender Gleichung (z²+2i)²+4=0

Question

Aufgabe:

Lösen von Gleichungen:

(z²+2i)²+4=0

Answer 1

Schreibe \(4=-(2i)^2\), denn dann gilt unter Verwendung der dritten binomischen Formel, dass \((z^2+2i)^2-(2i)^2=z^2(z^2+4i)=0\) und daraus folgt zunächst \(z_0=0\) und weiter \(z^2=-4i\), also \(z_{1,2}=\pm (1-i)\sqrt{2}\)

Answer 2

(z²+2i)²+4=0

(z²+2i)²=-4

z²+2i=2i  oder  z²+2i=-2i

z1=0            oder z^2=-4i

(x+yi)^2=-4i

x^2-y^2+2xyi=-4i

x^2-y^2=0   ;   2xy=4

x=y (x=-y geht nicht, wegen 2xy=4)

2x^2=4

x=+√2 oder x=-√2

z2=√2 + i√2

z3=-√2 -i√2

:-)

Answer 3

$$(z²+2i)²+4=0$$

$$(z²+2i)²=-4$$

1.Fall

$$z²+2i=2i$$$$z²=0$$$$z_1=0$$

2 Fall

$$z²+2i=-2i$$$$z²=-4i$$$$z_2= -2/\sqrt{2} +2/\sqrt{2}i$$$$= -\sqrt{2} +\sqrt{2}i$$

$$z_3= \sqrt{2} - \sqrt{2}i$$