menge Im(2z+i)*Re(z-2i)>Im(z²+z)

Question

ich habe z=x+iy definiert

Dann ergibt sich:

(2y+1)*x>2xy+x

2yx+x>2xy+x

Das ist ja sicher nie erfüllt. Von daher würde ich das als leere Menge interpretieren.

In der Aufgabe steht aber, dass man diese Menge skizzieren soll. Deswegen kann ja das oben nicht stimmen.

Vielleicht kann sich das mal jemand anschauen

LG

Answer 1

Dann ergibt sich:

(2y+1)*x>2xy+x

--- wirklich ?

$$ z=x+iy $$
$$ z^2+z $$
$$ (x+iy)^2+(x+iy) $$
$$ x^2+2ixy-y^2+(x+iy) $$
$$ x^2+x-y^2+i(2xy+y) $$

---EDIT: Vorzeichenfehler im Realteil, aber hier ohne weitere Folgen, da Imaginärteil gefragt ist wurde korrigiert.

Comments

Auf ein Neues :D

(x+iy)² =

x²+2ixy-y²       oder?

Man rechnet (iy)²=i²y²=-y²

Aber da man den Imaginärteil will ist das je egal.

x²+2ixy-y²+(x+iy)

= x²-y²+x+i*(2xy+y)

Im(x²-y²+x+i*(2xy+y)) = 2xy+y

Passt soweit?

---

Dann kommt man auf

y<x

Also ist die Menge die Fläche unter der Winkelhalbierenden y=x.

Stimmt das?

---

$$ (2y + 1)x \gt (2xy+y) $$
$$ (2y + 1)x \gt y(2x+1) $$
Bedingung:y >0
$$ \frac{2y + 1}y  x \gt (2x+1) $$
Bedingung:x >0
$$ \frac{2y + 1}y   \gt \frac{2x+1}x $$
$$ 2+\frac{ 1}y   \gt 2+\frac{1}x $$
$$ \frac{ 1}y   \gt \frac{1}x $$
$$ x  \gt y $$
$$ y \lt x $$

---

Bisher haben wir nur den ersten Quadranten betrachtet !
$$ (2y + 1)x \gt (2xy+y) $$
$$ (2y + 1)x \gt y(2x+1) $$
Bedingung:y <0
$$ \frac{2y + 1}y  x \lt (2x+1) $$
Bedingung:x >0
$$ \frac{2y + 1}y   \lt \frac{2x+1}x $$
$$ 2+\frac{ 1}y   \lt 2+\frac{1}x $$
$$ \frac{ 1}y   \lt \frac{1}x $$
$$ x  \lt y $$
$$ y \gt x $$
Bei dieser Fallkombination gilt für alle y kleiner Null, dass sie grösser als x sein müss(t)en.
Da aber die x in diesem Fall positiv sind, können negative y nicht grösser sein - also bedeutet das, dass uns im 4. Quadranten eine leere Lösungsmenge entgegengähnt !!!
Übrigens wären da noch 2 weitere Fälle, die Deiner Prüfung harren ...

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Wieso wendest du in der ersten Zeile nicht gleich das Distributivgesetz an, also einfach das x reinmultiplizieren. Dann kann man es auf beiden Seiten subtrahieren und dann hat man doch schon y kleiner y kleiner x.

Was ist daran falsch ?

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Ich meine ab hier
(2y+1)x größer  (2xy+y)
2yx+x größer 2xy+y 
Jetzt einfach 2yx subtrahieren 
Es bleibt x größer y 
Also muss der Realteil größer als der Imaginärteil sein. Das wird doch von allen komplexen Zahlen im 4. Quadranten erfüllt .
Was ist an der Herleitung denn verkehrt ?

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Ich bin selber grade etwas discycliert (bescheuerte Übersetzung für "ratlos").

In der Simulation kommt was völlig anderes raus - ich gehe mal besser in die horizontale Augenpflege über ...

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Was ist an der Herleitung denn verkehrt ?

Nix - sogar ich mache manchmal ausnahmsweise ein klitzekleines Fehlerchen ;)

Es bleibt x größer y 
Also muss der Realteil größer als der Imaginärteil sein.