sin(x)=0,2 bestimme alle Lösungen der Gleichungen im Bereich -2π < x < 2π

Question

Aufgabe:

sin(x)=0,2 bestimme alle Lösungen der Gleichungen im Bereich -2π < x < 2π

Problem/Ansatz:

Hab davon jede menge Aufgaben, weiß nicht wie ich ansetzen soll.

Wäre schon wenn mir jemand das oben genannte Beispiel mal vorrechnen könnte, damit ich es für die anderen so anwenden kann.

Answer 1

SIN(x) = c

x1 = ARCSIN(c)
x2 = pi - ARCSIN(c)

Also bei deiner Aufgabe

x1 = ARCSIN(0.2) = 0.2014
x2 = pi - ARCSIN(0.2) = 2.9402

Comments

sind das alle Lösungen in diesem Bereich oder gibt es noch mehr?

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Gibt noch 2 andere Lösungen

Du kannst zu den beiden Grundlösungen immer Vielfache von 2pi addieren.

~plot~ sin(x);0.2;x=0.2014;x=2.9402 ~plot~

Also

0.2014 - 2*pi = -6.0818
2.9402 - 2*pi = -3.3430

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Danke, gilt das Vorgehen auch bei cos oder tan?

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Beim Kosinus gibt es auch zwei Grundlösungen

COS(x) = c

x1 = ARCCOS(c)
x2 = - ARCCOS(c)

Hier kannst du auch wieder Vielfache von 2pi addieren.

Beim Tangens hat man nur eine Grundlösung

TAN(x) = c

x = ARCTAN(c)

Dafür kann man hier aber Vielfache von pi addieren.

Answer 2

Als Ansatz kannst du erst die Lösungen im Intervall finden, die erste Lösung hast du mit dem Ansatz für x = arcsin (0.2) nehmen, für weitere Lösungen kannst du das Vielfache des Ergebnisses mit π nehmen.

LG

ziplinevanessa

Comments

z.B x= arcsin 2x (0,2) ?

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Nein, müsstest dann in diesem Fall π - x berechnen (x ist dein  Ansatz wie ich oben geschrieben hab). :)

Answer 3

sin(x)=0,2 bestimme alle Lösungen der Gleichungen

x₁ = arcsin(0,2)

im Bereich -2π < x < 2π

Weitere Lösungen bekommst du durch

1. die Periodizität der Sinusfunktion, also sin(a) = sin(a + 2π) für alle a ∈ ℝ
2. die Symmetrie der Sinusfunktion, also sin(a) = sin(π - a) für alle a ∈ ℝ

Allgemein ist arcsin(x) ∈ [-π/2, π/2]. Speziell ist arcsin(0,2) ∈ [0, π/2].

Symmetrie: x₂ = π - x₁ = π - arcsin(0,2)

Periodizität: x₃ = x₁ - 2π = arcsin(0,2) - 2π, x₄ = x₂ - 2π = π - arcsin(0,2) - 2π = - arcsin(0,2) - π