Aus der Existenz eines Grenzwertes folgt doch, dass ab einem bestimmten Index n alle Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung des Grenzwertes liegen. Würde es zwei Grenzwerte geben, müssten ab einem bestimmten n alle Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung BEIDER Grenzwerte liegen.
Das ist prinzipiell erst mal möglich wenn Epsilon so groß gewählt wird, dass sich die Umgebungen beider "Grenzwerte" überlappen. Dann könnten ab einem bestimmten n die Folgenglieder alle im Überlappungsbereich beider Epsilonumgebungen liegen.
Nun ist eine Zahl aber nur dann Grenzwert, wenn in JEDER (noch so schmalen) Epsilonumgebung ab einem bestimmten Index n alle Folgenglieder liegen. Wählt man Epsilon nun kleiner als den halben Abstand der angenommenen beiden Grenzwerte, dann überlappen sich die beiden Epsilon-Umgebungen nicht mehr. Wenn also irgendwann alle Zahlen in EINER Epsilon-Umgebung liegen ist es ausgeschlossen, dass sie gleichzeitig auch in der anderen Epsilon-Umgebung liegen.
