Begründen Sie, dass das bestimmte Integral einer zum Ursprung symmetrischen Funktion über [-a; a] den Wert null hat.

Question

komme bei einer Übung momentan nicht weiter... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Danke

1) Begründen Sie, dass das bestimmte Integral einer zum Ursprung symmetrischen Funktion über [-a; a] den Wert null hat.

2) Begründen Sie, dass für eine zur y-Achse symmetrische Funktion f gilt:\( \int\limits_{-a}^{a} \) f(x)dx = 2\( \int\limits_{0}^{a} \) f(x)dx

Answer 1

1) Negative (rot) und positive (grün) Flächenstücke sind paarweise kongruent:

Answer 2

Ich nehme mal an, du bist ein Mathe-ersti? Falls ich die Frage auf dem "falschen Niveau" beantworte, lass es mich wissen. Am besten einfach in die Frage mitschreiben.

1. Wenn \(O\) eine Obersumme von \(f\) auf dem Intervall \([-a,a]\) ist, dann ist \(-O\) eine Untersumme von \(f\) auf dem gleichen Intervall. Das kannst du wenn du möchtest symbolisch beweisen (ist auch nicht schwer, nutze \(f(x)=-f(-x)\)), aber um es dir klar zu machen, mal dir ein Bild einer im Ursprung punktsymmetrischen Funktion zusammen mit einer Obersumme und spiegle das Bild mal tatsächlich. Die analoge Aussage gilt für Untersummen. Nimm jetzt an, dass \(f\) integrierbar ist. Was passiert mit dem Infimum der Obersummen bzw. dem Supremum der Untersummen? Nun, die müssen beide \(0\) sein, denn: Sie sind gleich nach Integrierbarkeit, und das Supremum der Untersummen ist genau "-Infimum der Untersummen".

2. Angenommen, dass \(f\) auf dem Intervall \([-a,a]\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Die Funktion:

\(g(x)=\begin{cases} f(x),&x\geq 0 \\ -f(x),&x<0\\ \end{cases}\)

ist jetzt offenbar punktsymmetrisch zum Ursprung (weil man den negativen Teil einfach "geflippt" hat). Das bedeutet, dass das Integral von \(g\) einfach \(0\) sein muss, was sagt das jetzt über das Integral von \(f\) aus?

Answer 3

(1)  Es gilt \(f(x)=-f(-x)\). Substituiere \(z=-x\) und erhalte$$\quad\int_{-a}^af(x)\,\mathrm dx=\int_{-a}^0f(x)\,\mathrm dx+\int_0^af(x)\,\mathrm dx$$$$=\int_{-a}^0(-1)\cdot f(-x)\,\mathrm dx+\int_0^af(x)\,\mathrm dx$$$$=\int_a^0f(z)\,\mathrm dz+\int_0^af(x)\,\mathrm dx$$$$=-\int_0^af(z)\,\mathrm dz+\int_0^af(x)\,\mathrm dx=0.$$(2) Analog mit \(f(x)=f(-x)\).