TKönnte mir jemand diese Aufgabe erklären?
Würde mich sehr über Unterstützung oder einen hilfreichen Ansatz freuen.
Text erkannt:
Es seien \( m+1 \) äquidistante \( x_{i} \) Knoten auf einem Intervall \( [a, b] \) gegeben, \( \mathrm{d} . \mathrm{h} ., x_{i}=a+i h \) mit \( h=\frac{b-a}{m}, \) für \( i=0, \ldots, m \)
(a) Zeigen Sie, dass für diese Wahl von Knoten die baryzentrischen Gewichte \( \omega_{i}=\frac{C}{l_{i}\left(x_{i}\right)} \) unabhängig von den Knoten \( x_{i} \) sind. Konkret, zeigen Sie dass mit \( C=(-1)^{m} h^{m} m ! \)
$$ \omega_{i}=(-1)^{i} \frac{m !}{i !(m-i) !}, \quad i=0, \ldots, m $$
gilt. Zeigen Sie dazu zunächst \( l_{i}\left(x_{i}\right)=h^{m} \prod \limits_{k=0}^{i-1}(i-k) \prod \limits_{k=i+1}^{m}(i-k) . \) Zeigen Sie dann
$$ \prod \limits_{k=0}^{i-1}(i-k)=i ! \text { und } \prod \limits_{k=i+1}^{m}(i-k)=(-1)^{m-i}(m-i) ! $$
