Lineare Algebra I (Mächtigkeit von Mengen)

Question

Aufgabe 1.4 Es sei \( M \) eine Menge.

(a) Zeigen Sie, dass \( A:=\{f: M \rightarrow\{0,1\}\} \) und \( \mathcal{P}(M) \) die gleiche Mächtigkeit besitzen.

(b) Zeigen Sie, dass \( M \) und \( \mathcal{P}(M) \) niemals die gleiche Mächtigkeit besitzen. (Tipp: Es reicht die Aussage für \( M \) und \( A \) zu zeigen. Warum das so ist, müssen Sie naturlich begründen.)
Wie geht man hier vor?

Answer 1

a)  Zu jeder Teilmenge T von M gibt es die sog. Indikatorfunktion

  c_T: M → {0,1} mit c_T(x) = 1 falls x ∈ T und c_T(x) = 0 sonst.

Die Abbildung h: P(M) → A , die jeder Teilmenge von M ihre

Indikatorfunktion zuordnet ist bijektiv.

Also sind P(M) und A gleichmächtig.

Comments

Und bei b)?

Vielen Dank! :-)

---

b) geht wohl so: Angenommen es sein M eine Menge die

gleichmächtig zu P(M) ist, dann ist M auch gleichmächtig

zu dem entsprechenden A , das hieße ja besser A_M oder so,

denn es hängt ja von M ab.

Dann gäbe es also eine bijektive Abbildung h : M → A,

die jedem x∈M eine Abbildung h(x) : M → {0,1} zuordnet.

also für jedes x∈M gilt h(x)(x) = 0 oder h(x)(x)=1

Definiere nun ein Abbildung k : M → {0;1} durch

                        k(x) = 1 , wenn h(x)(x) = 0
und                   k(x) = 0 , wenn h(x)(x) = 1

Dann ist k eine Abbildung von M nach {0;1}, also ein

Element von A, die aber von allen h(x) verschieden ist.

Also gibt es kein x∈M  mit   h(x) = k .

==>   h ist nicht surjektiv. Widerspruch!

Es gibt also keine bijektive Abb. von M nach A, damit

sind M und A nicht gleichmächtig, und somit

M und P(M) auch nicht.