Berechnen Sie diese Zahlen in Abhängigkeit von p und q

Question

Aufgabe:

Seien p, q ∈ N zwei Primzahlen. Da Z ein Hauptidealring ist, existieren eindeutig bestimmte
Zahlen x_1, x_2, x_3, x_4 ∈ N mit

(p) + (q) = (x_1) , (p) ∩ (q) = (x_2) , (p)(q) = (x_3) und (p^2) ∩ (pq) = (x_4).
Berechnen Sie diese Zahlen in Abhängigkeit von p und q

Könnte mir jemand helfen bitte die Aufgaben zu lösen?

Vielen :)

Answer 1

Vermutlich sollen p und q auch verschieden sein.

Dann ist x_1 = 1

x_2 = p*q

x_3 = p*q

x_4 = p^2 * q

Comments

Ich habe nicht gut verstanden was du meinst. Könntest du bitte mindestens ein davon lösen?

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p und q sind 2 verschiedene Primzahlen

(p) ist das von p erzeugte Ideal, also alle Vielfachen von p.

Die sehen also alle so aus  r*p mit r∈ℤ

(q) entsprechend.   etwa     s*q.

Dann ist (p)+(q) die Menge aller ganzen Zahlen, die sich

in der Form  r*p + s*q schreiben lassen.

Da ggT(p,q) = 1 ist, gibt es eine Darstellung   r*p + s*q = 1

Und wenn 1 in einem Ideal liegt, ist es der ganze Ring.

Entsprechend x_2 = 0 ; denn die Vielfachenmengen zweier

verschiedener Primzahlen haben nur die Vielfachen von p*q gemeinsam.

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Könntest du mir bei der 2. helfen bitte?..

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ich konnte alle machen außer die letzte. ich wäre wirklich sehr dankbar wenn du mir damit helfen würdest..

Vielen Dank im Voraus!.. :)

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In dem 4. Ideal liegen alle, die sich mit irgendwelchen

s und t aus ℤ sowohl in der Form s*p^2 als auch t*p*q

schreiben lassen. Also sind sie alle Vielfache von p^2

und enthalten den Faktor q ( Das p enthalten sie als Vielfache von p^2

ja eh,) Und da ja wohl p und q verschieden sein sollen, sind es

alle Vielfache von p^2 * q