\(f(x)=\lvert x \rvert \) bedeutet $$f(x)=\begin{cases}-x, &\text{falls } x<0 \quad \text{(negativ)}\\ \phantom{-}x, &\text{falls } x>0 \quad \text{(positiv)} \end{cases}$$ In Worten: Wenn der Wert x negativ ist, machen wir ihn positiv (d.h.: \(-(-x)=+x\)). Wenn er aber positiv ist, ändern wir nichts. Wir machen also nur etwas negativ, wenn es schon negativ war und dadurch wird es wieder positiv. Deshalb kann es keine negativen Werte bei einer Betragsfunktion geben.
In unserem Falle ist die Funktion also definiert als $$f(x)=\begin{cases}-x+2, & \text{falls }x<2\\ \phantom{-}x-2, & \text{falls } x>2\end{cases}$$ In Worten: Immer wenn x-2 negativ ist, machen wir den ganzen Ausdruck negativ: $$\displaystyle -(x-2)=-x+2.$$ Du benutzt also den oberen Term. Für den Fall, dass x-2 positiv ist, verändern wir nichts. Die Funktion hat also eine Fallunterscheidung und besteht aus zwei Teilfunktionen, die nennt man auch stückweise definierte Funktion.
Hier nochmal die Gleichheit der beiden Funktionen grafisch dargestellt (rauszoomen mit Mausrad): https://www.geogebra.org/graphing/bpadbrgf
