Wie bereche ich nun den Abstand von Punkt A zur Ebene aus?

Question

Aufgabe:

Untersuche ob die Punkte A und B auf der Ebene E liegen.

Dementsprechend Abstand berechnen.

A= (0,-1,1)

B= (1,8,0)

Ebene: E: 2x-z =2

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe bei Punkt A ≠ 2 heraus, also sie liegt nicht auf der Ebene und bei Punkt B = 2, d.h. sie liegt auf der Ebene. Wie bereche ich nun den Abstand von Punkt A zur Ebene aus ?

Gruß

Answer 1

Siehe:

https://www.bing.com/videos/search?q=abstand+punkt+ebene&&view=detail&mid=C108EA2C523B50B81964C108EA2C523B50B81964&&FORM=VRDGAR&ru=%2Fvideos%2Fsearch%3Fq%3Dabstand%2Bpunkt%2Bebene%26qpvt%3Dabstand%2Bpunkt%2Bebene%26FORM%3DVDRE

Answer 2

Aloha :)

Suche dir einen beliebigen Punkt \(X\) in der Ebene aus, etwa den Punkt \(B\). Projeziere den Vektor von \(X\) nach \(A\) auf den (normierten) Normalenvektor der Ebene.

$$d=|\overrightarrow{AX}\cdot\vec n^0|=\left|\left(\begin{pmatrix}1\\8\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\right|=\frac{1}{\sqrt5}\left|\begin{pmatrix}1\\9\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\right|$$$$\phantom{d}=\frac{1}{\sqrt5}(2+1)=\frac{3}{\sqrt5}$$

Answer 3

\(\begin{aligned} 2x-z & =2 &  & |-2\\ 2x-z-2 & =0 &  & |:\sqrt{5}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}\left(2x-z-2\right) & =0 \end{aligned}\)

Abstand eines Punktes zur Ebene bekommst du indem du den Punkt in die linke Seite einsetzt. Diese Form der Ebenengleichung nennt man Hessesche Normalenform. Die \(\sqrt 5\) ist die Länge des Normalenvektors

        \(\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\)